[Toán 9] Chứng minh 4 điểm M, N, P, Q cùng thuộc một đường tròn.
Ngày 2/10/2017 bạn Từ An gửi bài toán.
Cho tam giác ABC vuông tại A . Trên AB,AC lần lượt lấy các điểm D,E . Gọi M,N,P,Q lần lượt là trung điểm của DE, BE, BC, CD. CMR : 4 điểm M,N,P,Q cùng thuộc 1 đường tròn.
Trả lời cho bạn:
Có thể xem lại một chút kiến thức về đường trung bình của tam giác trước khi giải bài này.
Ta có $\left.\begin{matrix} \text{M là trung điểm của DE}\\ \text{N là trung điểm của BE} \end{matrix}\right\}$ => MN là đường trung bình của tam giác EDB
Suy ra MN // DB hay MN // AB (1)
Tương tự
$\left.\begin{matrix} \text{M là trung điểm của DE}\\ \text{Q là trung điểm của CD} \end{matrix}\right\}$ => QM là đường trung bình của tam giác ECD
Suy ra QM // EC hay QM // AC (2)
Mà AC $\perp$ AB (gt) (3)
Từ (1) (2) (3) suy ra QM $\perp$ MN. Do đó $\widehat{QMN}$ = $90^0$.
Ta cũng có $\left.\begin{matrix} \text{P là trung điểm của BC}\\ \text{N là trung điểm của BE} \end{matrix}\right\}$ => PN là đường trung bình của tam giác ECB
Suy ra PN // EC hay PN // AC (4)
Tương tự
$\left.\begin{matrix} \text{P là trung điểm của BC}\\ \text{Q là trung điểm của CD} \end{matrix}\right\}$ => QP là đường trung bình của tam giác BCD
Suy ra QP // DB hay QP // AB (5)
Mà AC $\perp$ AB (gt) (6)
Từ (4) (5) (6) suy ra QP $\perp$ PN. Do đó $\widehat{NPQ}$ = $90^0$.
Khi đó $\widehat{QMN}$ + $\widehat{NPQ}$ = $180^0$.
Tứ giác MNPQ có tổng số đo của hai góc đối diện bằng $180^0$, nên MNPQ là tứ giác nội tiếp.
Do đó 4 điểm M, N, P, Q cùng thuộc một đường tròn (đpcm)
Mỗi bài toán có nhiều cách giải, đừng quên chia sẻ cách giải hoặc ý kiến đóng góp của bạn ở khung nhận xét bên dưới. Xin cảm ơn!
Cho tam giác ABC vuông tại A . Trên AB,AC lần lượt lấy các điểm D,E . Gọi M,N,P,Q lần lượt là trung điểm của DE, BE, BC, CD. CMR : 4 điểm M,N,P,Q cùng thuộc 1 đường tròn.
Trả lời cho bạn:
Có thể xem lại một chút kiến thức về đường trung bình của tam giác trước khi giải bài này.
Ta có $\left.\begin{matrix} \text{M là trung điểm của DE}\\ \text{N là trung điểm của BE} \end{matrix}\right\}$ => MN là đường trung bình của tam giác EDB
Suy ra MN // DB hay MN // AB (1)
Tương tự
$\left.\begin{matrix} \text{M là trung điểm của DE}\\ \text{Q là trung điểm của CD} \end{matrix}\right\}$ => QM là đường trung bình của tam giác ECD
Suy ra QM // EC hay QM // AC (2)
Mà AC $\perp$ AB (gt) (3)
Từ (1) (2) (3) suy ra QM $\perp$ MN. Do đó $\widehat{QMN}$ = $90^0$.
 |
| Tam giác ABC vuông tại A. |
Suy ra PN // EC hay PN // AC (4)
Tương tự
$\left.\begin{matrix} \text{P là trung điểm của BC}\\ \text{Q là trung điểm của CD} \end{matrix}\right\}$ => QP là đường trung bình của tam giác BCD
Suy ra QP // DB hay QP // AB (5)
Mà AC $\perp$ AB (gt) (6)
Từ (4) (5) (6) suy ra QP $\perp$ PN. Do đó $\widehat{NPQ}$ = $90^0$.
Khi đó $\widehat{QMN}$ + $\widehat{NPQ}$ = $180^0$.
Tứ giác MNPQ có tổng số đo của hai góc đối diện bằng $180^0$, nên MNPQ là tứ giác nội tiếp.
Do đó 4 điểm M, N, P, Q cùng thuộc một đường tròn (đpcm)
Mỗi bài toán có nhiều cách giải, đừng quên chia sẻ cách giải hoặc ý kiến đóng góp của bạn ở khung nhận xét bên dưới. Xin cảm ơn!
EmoticonEmoticon