[Toán 8] Chứng minh tam giác DGC cân.
Ngày 4/10/2017 bạn có nickname BlackPink Blink gửi bài toán
Bài 1. Cho hình thang ABCD (AB // CD, AB < CD). Gọi E, F lần lượt là trung điểm của BD và AC. Đường thẳng qua E vuông góc với AD cắt đường thẳng qua F vuông góc với BC tại G. Chứng minh tam giác DGC cân.
Bài 2. Cho tứ giác ABCD có AD = BC. Đường thẳng đi qua trung điểm M và N của hai cạnh AB và CD cắt các đường thẳng AD và BC lần lượt tại E và F. Chứng minh góc AEM = góc MFB
Bài 3.
Cho hình vuông ABCD ($\widehat{A}$ = $\widehat{D}$ = $90^0$) và CD = 2AB. Gọi H là hình chiếu của D lên đường chéo AC. M là trung điểm của HC. Chứng minh BM $\perp$ MD.
Trả lời cho bạn:
Đường trung bình của tam giác, đường trung bình của hình thang là những kiến thức cần thiết giúp ta hoàn thành bài tập này.
Gọi H là trung điểm của CD. Khi đó HF là đường trung bình của tam giác ADC.
Suy ra HF // AD
Mà EG $\perp$ AD (gt)
Nên HF $\perp$ EG (1)
Ta cũng có HE là đường trung bình của tam giác BDC.
Suy ra HE // BC
Mà FG $\perp$ BC (gt)
Nên HE $\perp$ FG (2)
Từ (1) và (2) suy ra G là trực tâm của tam giác EFH.
Do đó GH $\perp$ EF
Ta lại có EF // DC (đoạn thẳng nối trung điểm hai đường chéo của hình thang thuộc đường trung bình của hình thang)
Suy ra GH $\perp$ DC.
Xét tam giác DGC có:
GH là trung tuyến (vì H là trung điểm của cạnh CD)
GH là đường cao (vì GH $\perp$ DC)
Suy ra tam giác DGC là tam giác cân (đpcm)
Bài 2.
Gọi K là trung điểm của đường chéo BD.
Xét tam giác ABD có:
M là trung điểm AB ( gt)
K là trung điểm BD.
Do đó KM là đường trung bình của tam giác ABD.
Suy ra KM // AD và KM = $\frac{1}{2}$AD
Khi đó $\widehat{AEM}$ = $\widehat{KMN}$ (2 góc đồng vị) (1)
Tương tự ta chứng minh được KN là đường trung bình tam giác DBC
Suy ra KN // BC và KN = $\frac{1}{2}$BC
Khi đó $\widehat{KNM}$ = $\widehat{MFB}$ (2 góc so le trong) (2)
Ta lại có AD = BC (gt)
Suy ra KM = KN.
Tam giác KMN có KM = KN
Nên tam giác KMN cân tại K.
Do đó $\widehat{KMN}$ = $\widehat{KNM}$ (3)
Từ (1) (2) và (3) Suy ra $\widehat{AEM}$ = $\widehat{MFB}$ ( đpcm)
Bài 3.
Ta có:
AD $\perp$ CD (1) (vì $\widehat{D}$ = $90^0$)
AB = $\frac{1}{2}$CD (2) (gt CD = 2AB)
DH $\perp$ AM (3) (H là hình chiếu của AC, M là trung điểm HC)
Gọi K là trung điểm của DH.
Khi đó KM là đường trung bình của tam giác DHC.
Suy ra:
KM // CD (4)
và KM = $\frac{1}{2}$CD (5)
Từ (1) và (4) suy ra AD $\perp$ KM (6)
Từ (3) và (6) suy ra K là trực tâm của tam giác ADM
Do đó AK $\perp$ DM (7)
Từ (2) (4) (5) suy ra tứ giác ABMK là hình bình hành.
Nên AK // BM (8)
Từ (7) và (8) suy ra BM $\perp$ MD (đpcm)
Mỗi bài toán có nhiều cách giải, đừng quên chia sẻ cách giải hoặc ý kiến đóng góp của bạn ở khung nhận xét bên dưới. Xin cảm ơn!
Bài 1. Cho hình thang ABCD (AB // CD, AB < CD). Gọi E, F lần lượt là trung điểm của BD và AC. Đường thẳng qua E vuông góc với AD cắt đường thẳng qua F vuông góc với BC tại G. Chứng minh tam giác DGC cân.
Bài 2. Cho tứ giác ABCD có AD = BC. Đường thẳng đi qua trung điểm M và N của hai cạnh AB và CD cắt các đường thẳng AD và BC lần lượt tại E và F. Chứng minh góc AEM = góc MFB
Bài 3.
Cho hình vuông ABCD ($\widehat{A}$ = $\widehat{D}$ = $90^0$) và CD = 2AB. Gọi H là hình chiếu của D lên đường chéo AC. M là trung điểm của HC. Chứng minh BM $\perp$ MD.
Trả lời cho bạn:
Đường trung bình của tam giác, đường trung bình của hình thang là những kiến thức cần thiết giúp ta hoàn thành bài tập này.
Gọi H là trung điểm của CD. Khi đó HF là đường trung bình của tam giác ADC.
Suy ra HF // AD
Mà EG $\perp$ AD (gt)
Nên HF $\perp$ EG (1)
Ta cũng có HE là đường trung bình của tam giác BDC.
Suy ra HE // BC
Mà FG $\perp$ BC (gt)
Nên HE $\perp$ FG (2)
Từ (1) và (2) suy ra G là trực tâm của tam giác EFH.
Do đó GH $\perp$ EF
 |
| E, F lần lượt là trung điểm của BD, AC. |
Suy ra GH $\perp$ DC.
Xét tam giác DGC có:
GH là trung tuyến (vì H là trung điểm của cạnh CD)
GH là đường cao (vì GH $\perp$ DC)
Suy ra tam giác DGC là tam giác cân (đpcm)
Bài 2.
 |
| Tứ giác ABCD có AD = BC. |
Gọi K là trung điểm của đường chéo BD.
Xét tam giác ABD có:
M là trung điểm AB ( gt)
K là trung điểm BD.
Do đó KM là đường trung bình của tam giác ABD.
Suy ra KM // AD và KM = $\frac{1}{2}$AD
Khi đó $\widehat{AEM}$ = $\widehat{KMN}$ (2 góc đồng vị) (1)
Tương tự ta chứng minh được KN là đường trung bình tam giác DBC
Suy ra KN // BC và KN = $\frac{1}{2}$BC
Khi đó $\widehat{KNM}$ = $\widehat{MFB}$ (2 góc so le trong) (2)
Ta lại có AD = BC (gt)
Suy ra KM = KN.
Tam giác KMN có KM = KN
Nên tam giác KMN cân tại K.
Do đó $\widehat{KMN}$ = $\widehat{KNM}$ (3)
Từ (1) (2) và (3) Suy ra $\widehat{AEM}$ = $\widehat{MFB}$ ( đpcm)
Bài 3.
Ta có:
AD $\perp$ CD (1) (vì $\widehat{D}$ = $90^0$)
AB = $\frac{1}{2}$CD (2) (gt CD = 2AB)
DH $\perp$ AM (3) (H là hình chiếu của AC, M là trung điểm HC)
Gọi K là trung điểm của DH.
Khi đó KM là đường trung bình của tam giác DHC.
Suy ra:
KM // CD (4)
và KM = $\frac{1}{2}$CD (5)
Từ (1) và (4) suy ra AD $\perp$ KM (6)
Từ (3) và (6) suy ra K là trực tâm của tam giác ADM
Do đó AK $\perp$ DM (7)
Từ (2) (4) (5) suy ra tứ giác ABMK là hình bình hành.
Nên AK // BM (8)
Từ (7) và (8) suy ra BM $\perp$ MD (đpcm)
Mỗi bài toán có nhiều cách giải, đừng quên chia sẻ cách giải hoặc ý kiến đóng góp của bạn ở khung nhận xét bên dưới. Xin cảm ơn!
EmoticonEmoticon