Giải SBT một số hệ thứcvề cạnh và đường cao trong tam giác vuông P1.
Các hệ thức lượng trong tam giác vuông mà cô giáo đã dạy ở tiết trước sẽ được áp dụng một cách triệt để trong quá trình giải các bài tập SBT một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông. Do đó việc ghi nhớ các hệ thức lượng trong tam giác vuông là hết sức cần thiết.
1. Hình 1 a, b
Bài giải:
a) Theo định lí 2 về hệ thức liên quan tới đường cao, ta có:
$3^2$ = 2.x => x = $\frac{3^2}{2}$ = $\frac{9}{2}$ = 4,5
Theo định lí 1 về hệ thức giữa cạnh góc vuông và hình chiếu, ta có:
$y^2$ = (2 + x).x = (2 + 4,5).4,5 = 29,25
=> y = $\sqrt{29,25}$
Vậy x = 4,5; y = $\sqrt{29,25}$
b) Ta có $\frac{AB}{AC}$ = $\frac{3}{4}$ => AC = $\frac{4}{3}$.AB = $\frac{4}{3}$.15 = 20
Theo định lí Py-ta-go ta có:
$BC^2$ = $AB^2$ + $AC^2$
Hay $y^2$ = $15^2$ + $20^2$
<=> $y^2$ = 225 + 400 = 625
=> y = $\sqrt{625}$ = 25
Theo định lí 3 về hệ thức liên hệ giữa đường cao và cạnh góc vuông, ta có:
x.y = 15.20 => x = $\frac{15.20}{y}$ = $\frac{15.20}{25}$ = 12
Vậy x = 12, y = 25.
a) Cho AH = 16, BH = 25. Tính AB, AC, BC, CH.
b) Cho AB = 12, BH = 6. Tính AH, AC, CH, BC.
Bài giải:
a) Tính AB:
Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác ABH, ta có:
$AB^2$ = $AH^2$ + $BH^2$ = $16^2$ + $25^2$ = 256 + 625 = 881
=> AB = $\sqrt{881}$ $\approx$ 29,68
Theo định lí 1 về hệ thức giữa cạnh góc vuông và hình chiếu của nó lên cạnh huyền, ta có:
$AB^2$ = BC.BH => BC = $\frac{AB^2}{BH}$ = $\frac{(29,68)^2}{25}$ = 35,24
Ta có BH + CH = BC => CH = BC - BH = 35,24 - 25 = 10,24
Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác ABC, ta có:
$AB^2$ + $AC^2$ = $BC^2$ => $AC^2$ = $BC^2$ - $AB^2$ = $(35,24)^2$ - $(29,68)^2$ = 360,9552
=> AC = $\approx$ 18,99
b) Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác ABH, ta có:
$AH^2$ + $BH^2$ = $AB^2$ => $AH^2$ = $AB^2$ - $BH^2$ = $12^2$ - $6^2$ = 144 + 36 = 108
=> AH = $\sqrt{108}$ $\approx$ 10,39
Theo định lí 2 về hệ thức liên quan tới đường cao, ta có:
$AH^2$ = BH.CH => CH = $\frac{AH^2}{BH}$ = $\frac{(10,39)^2}{6}$ $\approx$ 17,99
Ta có BC = BH + CH = 6 + 17,99 = 23,99
Theo định lí 1 về hệ thức giữa cạnh góc vuông và hình chiếu của nó lên cạnh huyền, ta có:
$AC^2$ = BC.CH = 23,99.17,99 = 431,5801
=> AC = $\sqrt{431,5801}$ $\approx$ 20,77
Một tam giác vuông có cạnh huyền là 5 và đường cao ứng với cạnh huyền là 2. Hãy tính cạnh nhỏ nhất của tam giác vuông này.
Bài giải:
Giả sử ta có tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, BH < CH. Khi đó ta có BC = 5, AH = 2. Suy ra:
BH + CH = 5 (1)
Theo định lí 2 về hệ thức liên quan tới đường cao, ta có:
$AH^2$ = BH.CH <=> BH.CH = 4 (2) (vì AH = 2)
Từ (1) và (2) suy ra BH = 1, CH = 4
Theo định lí 1 về hệ thức giữa cạnh góc vuông và hình chiếu của nó lên cạnh huyền, ta có:
$AB^2$ = BH.BC = 1.5 = 5 => AB = $\sqrt{5}$
Vậy cạnh nhỏ nhất của tam giác vuông ABC là AB = $\sqrt{5}$.
Mỗi bài toán có nhiều cách giải, đừng quên chia sẻ cách giải hoặc ý kiến đóng góp của bạn ở khung nhận xét bên dưới. Xin cảm ơn!
Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 103 SBT toán 9 tập 1.
Hãy tính x và y trong các hình sau:1. Hình 1 a, b
 |
| Hình 1. |
Bài giải:
a) Ta có $(x + y)^2$ = $5^2$ + $7^2$ (định lí Py-ta-go)
=> x + y = $\sqrt{5^2 + 7^2}$ = $\sqrt{25 + 49}$
<=> x + y = $\sqrt{74}$ (1)
Theo hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu của nó lên cạnh huyền, ta có:
$5^2$ = (x + y).x => x = $\frac{5^2}{x + y}$ = $\frac{25}{\sqrt{74}}$
Thay x = $\frac{25}{\sqrt{74}}$ vào (1), ta được:
$\frac{25}{\sqrt{74}}$ + y = $\sqrt{74}$
<=> y = $\sqrt{74}$ - $\frac{25}{\sqrt{74}}$
<=> y = $\frac{\sqrt{74}.\sqrt{74} - 25}{\sqrt{74}}$
<=> y = $\frac{74 - 25}{\sqrt{74}}$
<=> y = $\frac{49}{\sqrt{74}}$
Vậy x = $\frac{25}{\sqrt{74}}$, y = $\frac{49}{\sqrt{74}}$.
b) Ta có x + y = 16 => y = 16 - x (1)
Theo hệ thức liên hệ giữa cạnh và hình chiếu của nó lên cạnh huyền, ta có:
$14^2$ = 16.y => y = $\frac{14^2}{16}$ = $\frac{196}{16}$ = 12,25
Thay y = $\frac{196}{16}$ vào (1), ta được:
12,25 = 16 - x => x = 16 - 12,25 = 3,75
Vậy x = 3,75 và y = 12,25.
2. Hình 2 a, b
 |
| Hình 2. |
Bài giải:
a) Áp dụng định lí 1 liên hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu của nó, ta có:
$x^2$ = 2(2 + 6) = 2.8 = 16 => x = $\sqrt{16}$ = 4
$y^2$ = 6(2 + 6) = 6.8 = 48 => x = $\sqrt{48}$ = 4$\sqrt{3}$
b) Theo định lí 2 về hệ thức liên quan tới đường cao, ta có:
$x^2$ = 2.8 = 16 => x = 4.
3. Hình 3 a, b
 |
| Hình 3. |
Bài giải:
a) Theo định lí Py-ta-go, ta có:
$y^2$ = $7^2$ + $9^2$ = 49 + 81 = 130
=> y = $\sqrt{130}$
Theo định lí 3 về hệ thức liên quan đến đường cao, ta có:
7.9 = x.y => x = $\frac{7.9}{\sqrt{130}}$ = $\frac{63}{\sqrt{130}}$
Vậy x = $\frac{63}{\sqrt{130}}$, y = $\sqrt{130}$
b) Theo định lí 2 về hệ thức liên quan tới đường cao, ta có:
$5^2$ = x.x = $x^2$ => x = 5.
Theo định lí 1 về hệ thức giữa cạnh góc vuông và hình chiếu, ta có:
y.y = (x + x).x <=> $y^2$ = (5 + 5).5 = 50 => y = $\sqrt{50}$ = 5$\sqrt{2}$
Vậy x = 5, y = 5$\sqrt{2}$
4. Hình 4 a, b
 |
| Hình 4. |
a) Theo định lí 2 về hệ thức liên quan tới đường cao, ta có:
$3^2$ = 2.x => x = $\frac{3^2}{2}$ = $\frac{9}{2}$ = 4,5
Theo định lí 1 về hệ thức giữa cạnh góc vuông và hình chiếu, ta có:
$y^2$ = (2 + x).x = (2 + 4,5).4,5 = 29,25
=> y = $\sqrt{29,25}$
Vậy x = 4,5; y = $\sqrt{29,25}$
b) Ta có $\frac{AB}{AC}$ = $\frac{3}{4}$ => AC = $\frac{4}{3}$.AB = $\frac{4}{3}$.15 = 20
Theo định lí Py-ta-go ta có:
$BC^2$ = $AB^2$ + $AC^2$
Hay $y^2$ = $15^2$ + $20^2$
<=> $y^2$ = 225 + 400 = 625
=> y = $\sqrt{625}$ = 25
Theo định lí 3 về hệ thức liên hệ giữa đường cao và cạnh góc vuông, ta có:
x.y = 15.20 => x = $\frac{15.20}{y}$ = $\frac{15.20}{25}$ = 12
Vậy x = 12, y = 25.
Giải bài 5 trang 103 SBT toán 9 tập 1.
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH (h5). Giải bài toán trong mỗi trường hợp sau:a) Cho AH = 16, BH = 25. Tính AB, AC, BC, CH.
b) Cho AB = 12, BH = 6. Tính AH, AC, CH, BC.
Bài giải:
a) Tính AB:
Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác ABH, ta có:
$AB^2$ = $AH^2$ + $BH^2$ = $16^2$ + $25^2$ = 256 + 625 = 881
=> AB = $\sqrt{881}$ $\approx$ 29,68
Theo định lí 1 về hệ thức giữa cạnh góc vuông và hình chiếu của nó lên cạnh huyền, ta có:
$AB^2$ = BC.BH => BC = $\frac{AB^2}{BH}$ = $\frac{(29,68)^2}{25}$ = 35,24
Ta có BH + CH = BC => CH = BC - BH = 35,24 - 25 = 10,24
Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác ABC, ta có:
$AB^2$ + $AC^2$ = $BC^2$ => $AC^2$ = $BC^2$ - $AB^2$ = $(35,24)^2$ - $(29,68)^2$ = 360,9552
=> AC = $\approx$ 18,99
b) Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác ABH, ta có:
$AH^2$ + $BH^2$ = $AB^2$ => $AH^2$ = $AB^2$ - $BH^2$ = $12^2$ - $6^2$ = 144 + 36 = 108
=> AH = $\sqrt{108}$ $\approx$ 10,39
Theo định lí 2 về hệ thức liên quan tới đường cao, ta có:
$AH^2$ = BH.CH => CH = $\frac{AH^2}{BH}$ = $\frac{(10,39)^2}{6}$ $\approx$ 17,99
Ta có BC = BH + CH = 6 + 17,99 = 23,99
Theo định lí 1 về hệ thức giữa cạnh góc vuông và hình chiếu của nó lên cạnh huyền, ta có:
$AC^2$ = BC.CH = 23,99.17,99 = 431,5801
=> AC = $\sqrt{431,5801}$ $\approx$ 20,77
Giải bài 6 trang 103 SBT toán 9 tập 1.
Cho tam giác vuông với các cạnh góc vuông có độ dài 5 và 7, kẻ đường cao ứng với cạnh huyền. Hãy tính đường cao này và các đoạn thẳng mà nó chia ra trên cạnh huyền.
Bài giải:
Giả sử tam giác vuông đề cho là ABC với $\widehat{A}$ = $90^0$, AB = 5, AC = 7, đường cao AH. Khi đó ta sẽ tính AH, BH, CH.
Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông ABC, ta có:
$BC^2$ = $AB^2$ + $AC^2$ = $5^2$ + $7^2$ = 25 + 49 = 74
=> BC = $\sqrt{74}$
Theo định lí 3 về hệ thức liên quan với đường cao, ta có:
AH.BC = AB.AC => AH = $\frac{AB.AC}{BC}$ = $\frac{5.7}{\sqrt{74}}$ = $\frac{35}{\sqrt{74}}$.
Theo định lí 2 về hệ thức liên quan với đường cao, ta có:
$AB^2$ = BH.BC => BH = $\frac{AB^2}{BC}$ = $\frac{5^2}{\sqrt{74}}$ = $\frac{25}{\sqrt{74}}$
CH = BC - BH = $\sqrt{74}$ - $\frac{25}{\sqrt{74}}$ = $\frac{74 - 25}{\sqrt{74}}$ = $\frac{49}{\sqrt{74}}$.
Giả sử tam giác vuông đề cho là ABC với $\widehat{A}$ = $90^0$, AB = 5, AC = 7, đường cao AH. Khi đó ta sẽ tính AH, BH, CH.
Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông ABC, ta có:
$BC^2$ = $AB^2$ + $AC^2$ = $5^2$ + $7^2$ = 25 + 49 = 74
=> BC = $\sqrt{74}$
Theo định lí 3 về hệ thức liên quan với đường cao, ta có:
AH.BC = AB.AC => AH = $\frac{AB.AC}{BC}$ = $\frac{5.7}{\sqrt{74}}$ = $\frac{35}{\sqrt{74}}$.
Theo định lí 2 về hệ thức liên quan với đường cao, ta có:
$AB^2$ = BH.BC => BH = $\frac{AB^2}{BC}$ = $\frac{5^2}{\sqrt{74}}$ = $\frac{25}{\sqrt{74}}$
CH = BC - BH = $\sqrt{74}$ - $\frac{25}{\sqrt{74}}$ = $\frac{74 - 25}{\sqrt{74}}$ = $\frac{49}{\sqrt{74}}$.
Giải bài 7 trang 103 SBT toán 9 tập 1.
Đường cao của một tam giác vuông chia cạnh huyền thành hai đoạn thẳng có độ dài là 3 và 4. Hãy tính các cạnh góc vuông của tam giác này.
Bài giải:
Theo những dữ kiện của đề, giả sử ta có hình vẽ bên dưới. Khi đó ta sẽ tính AB và AC.
Theo định lí 1 về hệ thức giữa cạnh góc vuông và hình chiếu của nó lên cạnh huyền, ta có:
$AB^2$ = BC.BH = (3 + 4).3 = 21 => AB = $\sqrt{21}$
$AC^2$ = BC.CH = (3 + 4).4 = 28 => AC = $\sqrt{28}$.
Theo những dữ kiện của đề, giả sử ta có hình vẽ bên dưới. Khi đó ta sẽ tính AB và AC.
 |
| Tam giác ABC vuông tại A. |
$AB^2$ = BC.BH = (3 + 4).3 = 21 => AB = $\sqrt{21}$
$AC^2$ = BC.CH = (3 + 4).4 = 28 => AC = $\sqrt{28}$.
Giải bài 8 trang 103 SBT toán 9 tập 1.
Cạnh huyền của một tam giác vuông lớn hơn một cạnh góc vuông là 1cm và tổng của hai cạnh góc vuông lớn hơn cạnh huyền là 4cm. Hãy tính các cạnh của tam giác vuông này.
Bài giải:
Giả sử ta có tam giác ABC vuông tại A với hai cạnh góc vuông là a, b và cạnh huyền là c.
Theo đề, nếu c lớn hơn a 1cm. Khi đó ta có:
a = c -1 (1) (cạnh huyền c lớn hơn cạnh góc vuông a là 1cm)
a + b - c = 4 (2) (tổng của hai cạnh góc vuông a, b lớn hơn cạnh huyền c là 4cm)
$a^2$ + $b^2$ = $c^2$ (3) (Theo định lí Py-ta-go)
Từ (1) và (2) suy ra c - 1 + b - c = 4 <=> b = 4 + 1 <=> b = 5.
Thay a = c - 1 và b = 5 vào (3), ta được:
$(c - 1)^2$ + $5^2$ = $c^2$ <=> $c^2$ - 2c + 1 + 25 = $c^2$ <=> -2c = -26 <=> c = 13
Thay c = 13 vào (1), ta được: a = 13 - 1 <=> a = 12.
Vậy a = 12cm, b = 5cm, c = 13cm.
Giả sử ta có tam giác ABC vuông tại A với hai cạnh góc vuông là a, b và cạnh huyền là c.
 |
| Tam giác vuông với độ dài ba cạnh là a, b, c. |
a = c -1 (1) (cạnh huyền c lớn hơn cạnh góc vuông a là 1cm)
a + b - c = 4 (2) (tổng của hai cạnh góc vuông a, b lớn hơn cạnh huyền c là 4cm)
$a^2$ + $b^2$ = $c^2$ (3) (Theo định lí Py-ta-go)
Từ (1) và (2) suy ra c - 1 + b - c = 4 <=> b = 4 + 1 <=> b = 5.
Thay a = c - 1 và b = 5 vào (3), ta được:
$(c - 1)^2$ + $5^2$ = $c^2$ <=> $c^2$ - 2c + 1 + 25 = $c^2$ <=> -2c = -26 <=> c = 13
Thay c = 13 vào (1), ta được: a = 13 - 1 <=> a = 12.
Vậy a = 12cm, b = 5cm, c = 13cm.
Giải bài 9 trang 104 SBT toán 9 tập 1.
Bài giải:
Giả sử ta có tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, BH < CH. Khi đó ta có BC = 5, AH = 2. Suy ra:
BH + CH = 5 (1)
Theo định lí 2 về hệ thức liên quan tới đường cao, ta có:
$AH^2$ = BH.CH <=> BH.CH = 4 (2) (vì AH = 2)
Từ (1) và (2) suy ra BH = 1, CH = 4
Theo định lí 1 về hệ thức giữa cạnh góc vuông và hình chiếu của nó lên cạnh huyền, ta có:
$AB^2$ = BH.BC = 1.5 = 5 => AB = $\sqrt{5}$
Vậy cạnh nhỏ nhất của tam giác vuông ABC là AB = $\sqrt{5}$.
Giải bài 10 trang 104 SBT toán 9 tập 1.
Cho một tam giác vuông biết tỉ số của hai cạnh góc vuông là 3 : 4 và cạnh huyền là 125cm. Tính độ dài các cạnh góc vuông và hình chiếu của các cạnh góc vuông lên cạnh huyền.
Bài giải:
Giả sử ta có tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, $\frac{AB}{AC}$ = $\frac{3}{4}$. Khi đó BC = 125cm và ta phải tính AB, AC, BH, CH.
Theo đề $\frac{AB}{AC}$ = $\frac{3}{4}$
<=> $\frac{AB}{3}$ = $\frac{AC}{4}$
<=> $\frac{AB^2}{9}$ = $\frac{AC^2}{16}$ (bình phương hai vế)
Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
$\frac{AB^2}{9}$ = $\frac{AC^2}{16}$ = $\frac{AB^2 + AC^2}{9 + 16}$ = $\frac{AB^2 + AC^2}{25}$ (1)
Mà $AB^2$ + $AC^2$ = $BC^2$ (theo định lí Py-ta-go)
<=> $AB^2$ + $AC^2$ = $125^2$ (theo đề BC = 125cm)
<=> $AB^2$ + $AC^2$ = 15625 (2)
Từ (1) và (2) suy ra $\frac{AB^2}{9}$ = $\frac{AC^2}{16}$ = $\frac{15625}{25}$ = 625 (3)
Từ (3) suy ra
$AB^2$ = 9.625 = 5625 => AB = $\sqrt{5625}$ = 75.
$AC^2$ = 16.625 = 1000 => AC = $\sqrt{1000}$ = 100
Theo định lí 1 về hệ thức giữa cạnh góc vuông và hình chiếu của nó lên cạnh huyền, ta có:
$AB^2$ = BH.BC => BH = $\frac{AB^2}{BC}$ = $\frac{5625}{125}$ = 45
Ta có BH + CH = BC => CH = BC - BH = 125 - 45 = 80.
Vậy AB = 75cm, AC = 100cm, BH = 45cm, CH = 80cm.
Giả sử ta có tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, $\frac{AB}{AC}$ = $\frac{3}{4}$. Khi đó BC = 125cm và ta phải tính AB, AC, BH, CH.
Theo đề $\frac{AB}{AC}$ = $\frac{3}{4}$
<=> $\frac{AB}{3}$ = $\frac{AC}{4}$
<=> $\frac{AB^2}{9}$ = $\frac{AC^2}{16}$ (bình phương hai vế)
Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
$\frac{AB^2}{9}$ = $\frac{AC^2}{16}$ = $\frac{AB^2 + AC^2}{9 + 16}$ = $\frac{AB^2 + AC^2}{25}$ (1)
Mà $AB^2$ + $AC^2$ = $BC^2$ (theo định lí Py-ta-go)
<=> $AB^2$ + $AC^2$ = $125^2$ (theo đề BC = 125cm)
<=> $AB^2$ + $AC^2$ = 15625 (2)
Từ (1) và (2) suy ra $\frac{AB^2}{9}$ = $\frac{AC^2}{16}$ = $\frac{15625}{25}$ = 625 (3)
Từ (3) suy ra
$AB^2$ = 9.625 = 5625 => AB = $\sqrt{5625}$ = 75.
$AC^2$ = 16.625 = 1000 => AC = $\sqrt{1000}$ = 100
Theo định lí 1 về hệ thức giữa cạnh góc vuông và hình chiếu của nó lên cạnh huyền, ta có:
$AB^2$ = BH.BC => BH = $\frac{AB^2}{BC}$ = $\frac{5625}{125}$ = 45
Ta có BH + CH = BC => CH = BC - BH = 125 - 45 = 80.
Vậy AB = 75cm, AC = 100cm, BH = 45cm, CH = 80cm.
Mỗi bài toán có nhiều cách giải, đừng quên chia sẻ cách giải hoặc ý kiến đóng góp của bạn ở khung nhận xét bên dưới. Xin cảm ơn!
EmoticonEmoticon