Giải SBT đường kính và dây của đường tròn.


Giải bài 15 trang 158 SBT toán 9 tập 1.

Cho tam giác ABC, các đường cao BH, CK. Chứng minh rằng:
a) Bốn điểm B, C, H, K cùng thuộc một đường tròn.
b) HK < BC.
Bài giải:
a) Trong chương trình hình học lớp 8 ta đã được học một định lí trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền. Ta sẽ áp dụng định lí này để giải.
giaibaitaptoan.blogspot.com
BH, CK là các đường cao tam giác ABC.
Gọi E là trung điểm của BC. Khi đó ta có:
BE = CE = $\frac{1}{2}$BC (1)
HE là trung tuyến của tam giác vuông BHC nên HE = $\frac{1}{2}$BC (2)
KE là trung tuyến của tam giác vuông BKC nên KE = $\frac{1}{2}$BC (3)
Từ (1) (2) (3) suy ra BE = CE = HE = KE
Do đó bốn điểm B, C, H, K cùng thuộc đường tròn tâm E bán kính EB (đpcm)
b) Xét đường tròn tâm E bán kính EB có
BC là đường kính
HK là dây cung
Theo định lí 1 trong các dây của đường tròn dây lớn nhất là đường kính.
Do đó HK < BC (đpcm)

Giải bài 16 trang 159 SBT toán 9 tập 1.

Tứ giác ABCD có $\widehat{B}$ = $\widehat{D}$ = $90^0$
a) Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn.
b) So sánh độ dài BD và AC. Nếu AC = BD thì tứ giác ABCD là hình gì?
Bài giải:
a) Gọi O là trung điểm của AC. Khi đó ta có: 
AO = CO = $\frac{1}{2}$AC (1)
BO là trung tuyến của tam giác vuông ABC nên BO = $\frac{1}{2}$AC (2)
DO là trung tuyến của tam giác vuông ADC nên DO = $\frac{1}{2}$AC (3)
Từ (1) (2) (3) suy ra AO = CO = BO = DO
Vậy bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc đường tròn tâm O bán kính OA (đpcm)
giaibaitaptoan.blogspot.com
Tứ giác ABCD là hình gì?
b) Ta có BD là dây của đường tròn (O), AC là đường kính nên BD $\leq$ AC
AC = BD khi và chỉ khi BD cũng là đường kính. Khi đó tứ giác ABCD là hình chữ nhật.

Giải bài 19 trang 159 SBT toán 9 tập 1.

Cho đường tròn (O), đường kính AD = 2R. Vẽ cung tâm D bán kính R, cung này cắt đường tròn (O) ở B và C.
a) Tứ giác OBDC là hình gì? Vì sao?
b) Tính số đo các góc CBD, CBO, OBA
c) Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác đều.
Bài giải:
a) Ta có OB = OC = R (bán kính đường tròn O)
DB = DC = R (bán kính cung tròn tâm D)
Tứ giác OBDC có OB = OC = DB = DC nên OBDC là hình thoi.
giaibaitaptoan.blogspot.com
Chứng minh tam giác ABC đều.
b) Xét tam giác BOD có OB = OD = DB nên BOD là tam giác đều.
Suy ra $\widehat{OBD}$ = $60^0$
Ta có BC là đường chéo của hình thoi nên là đường phân giác góc DOB
Suy ra $\widehat{CBO}$ = $\widehat{CBD}$ = $\frac{\widehat{OBD}}{2}$ = $30^0$.
Ta có $\widehat{ABD}$ = $90^0$ (vì tam giác ABD nội tiếp đường tròn đường kính AD)
Khi đó $\widehat{OBA}$ = $\widehat{ABD}$ - $\widehat{OBD}$ = $90^0$ - $60^0$ = $30^0$
Vậy $\widehat{CBO}$ = $\widehat{CBD}$ = $30^0$, $\widehat{OBA}$ = $30^0$
c) Ta có $\widehat{ABC}$ = $\widehat{CBO}$ + $\widehat{OBA}$ = $30^0$ = $30^0$ + $30^0$ = $60^0$
Tính tương tự câu b) ta được $\widehat{BCO}$ = $30^0$, $\widehat{OCA}$ = $30^0$. Suy ra $\widehat{ACB}$ = $60^0$
Tam giác ABC có $\widehat{ABC}$ = $60^0$ và $\widehat{ACB}$ = $60^0$ nên ABC là tam giác đều. 

Giải bài 20 trang 159 SBT toán 9 tập 1.

a) Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB, dây CD. Các đường vuông góc với CD tại C và D tương ứng cắt AB tại M và N. Chứng minh rằng AM = BN
b) Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Trên AB lấy các điểm M, N sao cho AM = BN. Qua M và qua N kẻ các đường thẳng song song với nhau, chúng cắt nửa đường tròn lần lượt ở C và D. Chứng minh rằng MC và ND vuông góc với CD.
Bài giải:
giaibaitaptoan.blogspot.com
Chứng minh AM = BN
a) Kẻ OH $\perp$ CD. Khi đó HC = HD (đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây đó)
Theo định lí 3 đường trung bình của hình thang thì hình thang CDNM có HC = HD và HO // CM // DN nên OM = ON.
Suy ra AM = BN (đpcm)
b) Gọi H là trung điểm của CD
giaibaitaptoan.blogspot.com
Chứng minh MC, ND vuông góc với CD.
Hình thang CDNM có OH là đường trung bình nên OH // MC // ND (1)
Mặc khác ta có OH $\perp$ CD (2)  (đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy)
Từ (1) và (2) suy ra MC $\perp$ CD, ND $\perp$ CD (đpcm)



Mỗi bài toán có nhiều cách giải, đừng quên chia sẻ cách giải hoặc ý kiến đóng góp của bạn ở khung nhận xét bên dưới. Xin cảm ơn!

CÙNG CHIA SẺ ĐỂ KIẾN THỨC ĐƯỢC LAN TỎA!

Previous
Next Post »
Cảm ơn các bạn đã ghé thăm trang GIẢI BÀI TẬP TOÁN và để lại những cảm nhận tích cực!