Liên hệ giữa cung và dây.
Ở chương II, ta đã học về dây của đường tròn, bài đầu tiên của chương III đề cập đến mối liên hệ giữa cung và góc ở tâm. Và hôm nay, ta sẽ làm rõ mối liên hệ giữa cung và dây.
Đầu tiên, ta sẽ làm quen với những cụm từ mới. Chẳng hạn, người ta dùng cụm từ "cung căng dây" hoặc "dây căng cung" để chỉ mối liên hệ giữa cung và dây có chung hai mút.
Trong một đường tròn mỗi dây căng hai cung phân biệt.
Ví dụ: Dây AB căng hai cung AmB và AnB.
Trên hình 9, cung AmB là cung nhỏ, cung AnB là cung lớn.
Ta có hai định lí liên quan đến cung nhỏ.
➤ Dễ dàng nhận thấy hai dây căng hai cung đó cũng bằng nhau.
Nội dung định lí 1 được phát biểu như sau:
a) Ta có cung AB = cung CD (gt)
=> $\widehat{AOB}$ = $\widehat{COD}$ (liên hệ giữa cung và góc ở tâm)
Xét hai tam giác AOB và COD có:
OA = OC (= bán kính đường tròn)
$\widehat{AOB}$ = $\widehat{COD}$ (cmt)
OB = OD (bán kính đường tròn)
Vậy $\Delta$ AOB = $\Delta$ COD (c-g-c)
Suy ra AB = CD (hai cạnh tương ứng)
b) Xét hai tam giác AOB và COD có:
OA = OC = OB = OD (= bán kính đường tròn)
AB = CD (gt)
Vậy $\Delta$ AOB = $\Delta$ COD (c-c-c)
Suy ra $\widehat{AOB}$ = $\widehat{COD}$ (hai góc tương ứng)
Do đó cung AB = cung CD.
Chú ý: định lí này áp dụng với hai cung nhỏ trong cùng một đường tròn hoặc hai đường tròn bằng nhau (hai đường tròn có cùng bán kính). Định lí vẫn đúng với hai cung đều là cung lớn.
Đến đây, có một câu hỏi được đặt ra là với hai cung nhỏ không bằng nhau trong một đường tròn thì sao? Câu trả lời có ở định lí 2.
➤ Ta dễ nhận thấy dây AB lớn hơn dây CD.
Điều đó được trình bày cụ thể trong định lí 2:
Mỗi bài toán có nhiều cách giải, đừng quên chia sẻ cách giải hoặc ý kiến đóng góp của bạn ở khung nhận xét bên dưới. Xin cảm ơn!
Đầu tiên, ta sẽ làm quen với những cụm từ mới. Chẳng hạn, người ta dùng cụm từ "cung căng dây" hoặc "dây căng cung" để chỉ mối liên hệ giữa cung và dây có chung hai mút.
Trong một đường tròn mỗi dây căng hai cung phân biệt.
Ví dụ: Dây AB căng hai cung AmB và AnB.
 |
| Dây AB căng hai cung AmB và AnB. |
Ta có hai định lí liên quan đến cung nhỏ.
Định lí 1.
Cho đường tròn (O), có cung nhỏ AB bằng cung nhỏ CD. Có nhận xét gì về hai dây căng hai cung đó?➤ Dễ dàng nhận thấy hai dây căng hai cung đó cũng bằng nhau.
Nội dung định lí 1 được phát biểu như sau:
Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau:Chứng minh:
a) Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau.
b) Hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau.
a) Ta có cung AB = cung CD (gt)
=> $\widehat{AOB}$ = $\widehat{COD}$ (liên hệ giữa cung và góc ở tâm)
Xét hai tam giác AOB và COD có:
OA = OC (= bán kính đường tròn)
$\widehat{AOB}$ = $\widehat{COD}$ (cmt)
OB = OD (bán kính đường tròn)
Vậy $\Delta$ AOB = $\Delta$ COD (c-g-c)
Suy ra AB = CD (hai cạnh tương ứng)
 |
| Hình 10. Hai cung bằng nhau. |
OA = OC = OB = OD (= bán kính đường tròn)
AB = CD (gt)
Vậy $\Delta$ AOB = $\Delta$ COD (c-c-c)
Suy ra $\widehat{AOB}$ = $\widehat{COD}$ (hai góc tương ứng)
Do đó cung AB = cung CD.
Chú ý: định lí này áp dụng với hai cung nhỏ trong cùng một đường tròn hoặc hai đường tròn bằng nhau (hai đường tròn có cùng bán kính). Định lí vẫn đúng với hai cung đều là cung lớn.
Đến đây, có một câu hỏi được đặt ra là với hai cung nhỏ không bằng nhau trong một đường tròn thì sao? Câu trả lời có ở định lí 2.
Định lí 2.
Cho đường tròn (O) có cung nhỏ AB lớn hơn cung nhỏ CD. Hãy so sánh hai dây AB và CD.➤ Ta dễ nhận thấy dây AB lớn hơn dây CD.
 |
| Hình 11. Cung CD lớn hơn cung AB. |
Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau:Qua bài học này, ta cần nắm hai định lí 1 và 2 về liên hệ giữa cung và dây, biết cách chứng minh hai định lí đó. Hiểu được vì sao các định lí đó chỉ phát biểu đối với các cung nhỏ trong một đường tròn hay hai đường tròn bằng nhau. Và quan trọng là vận dụng được hai định lí vào việc giải bài tập.
a) Cung lớn hơn căng dây lớn hơn.
b) Dây lớn hơn căng cung lớn hơn.
Mỗi bài toán có nhiều cách giải, đừng quên chia sẻ cách giải hoặc ý kiến đóng góp của bạn ở khung nhận xét bên dưới. Xin cảm ơn!
EmoticonEmoticon