Giải bài luyện tập góc nội tiếp.
Những kiến thức liên quan đến góc nội tiếp rất rộng, đòi hỏi ta không chỉ nắm định nghĩa và các hệ quả liên quan, mà còn phải thường xuyên luyện giải các bài tập góc nội tiếp. Những bài tập sau giúp ta có một sự hiểu biết đầy đủ hơn về góc nội tiếp.
Bài giải:
Tam giác SAB có $\widehat{AMB}$ = $\widehat{ANB}$ = $90^0$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
=> BM $\perp$ SA, AN $\perp$ SB
Do đó BM và AN là hai đường cao của tam giác SAB.
Khi đó H là trực tâm của tam giác SAB.
Vì trong một tam giác ba đường cao đồng quy nên SH thuộc đường cao thứ ba.
=> SH $\perp$ AB. (đpcm)
Bài giải:
Nối BA, BC, BD.
Ta có $\widehat{ABC}$ = $\widehat{ABD}$ = $90^0$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Khi đó $\widehat{ABC}$ + $\widehat{ABD}$ = $180^0$.
Suy ra ba điểm C, B, D thẳng hàng.
Bài giải:
Ta có ⁀AmB = ⁀AnB (1) (vì đường tròn (O) và (O') là hai đường tròn bằng nhau cùng căng dây AB)
Theo định lí góc nội tiếp, ta có:
$\widehat{AMB}$ = $\frac{1}{2}$sđ⁀AmB. (2)
$\widehat{ANB}$ = $\frac{1}{2}$sđ⁀AnB. (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra $\widehat{AMB}$ = $\widehat{ANB}$
Vậy MBN là tam giác cân tại B.
Bài giải:
Ta có AC $\perp$ AB (vì AC là tiếp tuyến của (O) với tiếp điểm A)
Nên tam giác ABC vuông tại A.
Ta lại có $\widehat{AMB}$ = $90^0$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
Do đó AM là đường cao của tam giác vuông ABC.
Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông $h^2$ = b.c. Áp dụng vào tam giác vuông ABC, ta có:
$MA^2$ = MB.MC. (đpcm)
Hướng dẫn: Xét cả hai trường hợp điểm M nằm bên trong và bên ngoài đường tròn. Trong mỗi trường hợp, xét hai tam giác đồng dạng.
Bài giải:
a) Trường hợp M nằm bên trong đường tròn.
Xét hai tam giác MAC và MDB có:
$\widehat{M_1}$ = $\widehat{M_2}$ (hai góc đối đỉnh)
$\widehat{A}$ = $\widehat{D}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung CB)
Vậy $\Delta$ MAC $\sim$ $\Delta$ MDB (g-g)
Suy ra $\frac{MA}{MD}$ = $\frac{MC}{MB}$ => MA.MB = MC.MD.
☺ Các bạn có thể xét hai tam giác đồng dạng MCB và MAD
b) Trường hợp M nằm bên ngoài đường tròn.
Xét hai tam giác MAD và MCB có:
$\widehat{MDA}$ = $\widehat{MBC}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC)
$\widehat{M}$ chung.
Vậy $\Delta$ MAD $\sim$ $\Delta$ MCB (g-g)
Suy ra $\frac{MA}{MC}$ = $\frac{MD}{MB}$ => MA.MB = MC.MD.
☺ Các bạn có thể xét hai tam giác đồng dạng MAC và MDB.
Bài giải:
Vẽ MN $\perp$ AB (N $\in$ (O; ON).
Khi đó ta có:
MN = 2R là đường kính của đường tròn chứa cung AMB.
KO = MN - (ON + MK) = 2R - (R + 3) = R - 3.
KN = KO + ON = R - 3 + R = 2R - 3.
Xét hai tam giác KAM và KNB có:
$\widehat{AKM}$ = $\widehat{BKN}$ =$90^0$
$\widehat{MAK}$ = $\widehat{MNB}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung MB)
Vậy $\Delta$ KAM $\sim$ $\Delta$ KNB (g-g)
Suy ra $\frac{KA}{KN}$ = $\frac{KM}{KB}$ => KA.KB = KN.KM
Thay các giá trị vào, ta được:
20.20 = 3(2R - 3)
<=> 400 = 6R - 9 <=> 6R = 409 <=> R = $\frac{409}{6}$ = 68,2.
Vậy bán kính của đường tròn chứa cung AMB bằng 68,2 (m).
Bài giải:
Với yêu cầu của bài toán, ta sẽ dựng như sau:
- Dùng thước thẳng có chia khoảng vẽ BC = 4cm.
- Dùng compa dựng nửa đường tròn tâm O, đường kính BC = 4cm.
- Vẽ điểm A thuộc nửa đường tròn (O; BC) sao cho AB = 2,5cm.
- Nối A với B, A với C ta được tam giác ABC là tam giác vuông cần dựng.
Chứng minh:
Ta có $\widehat{BAC}$ = $90^0$ (vì là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Mặt khác theo cách dựng ta có:
BC = 4cm, BA = 2,5cm.
Vậy tam giác ABC chính là tam giác vuông ta cần dựng.
Bài giải:
a) Chứng minh SM = SC.
Ta có MN // BC (gt)
Mỗi bài toán có nhiều cách giải, đừng quên chia sẻ cách giải hoặc ý kiến đóng góp của bạn ở khung nhận xét bên dưới. Xin cảm ơn!
Giải bài 19 trang 75 sgk hình học 9 tập 2.
Cho đường tròn tâm O. đường kính AB và S là một điểm nằm bên ngoài đường tròn. SA và SB lần lượt cắt đường tròn tại M, N. Gọi H là giao điểm của BM và AN. Chứng minh rằng SH vuông góc với AB.Bài giải:
 |
| Chứng minh SH vuông góc với AB. |
=> BM $\perp$ SA, AN $\perp$ SB
Do đó BM và AN là hai đường cao của tam giác SAB.
Khi đó H là trực tâm của tam giác SAB.
Vì trong một tam giác ba đường cao đồng quy nên SH thuộc đường cao thứ ba.
=> SH $\perp$ AB. (đpcm)
Giải bài 20 trang 76 sgk hình học 9 tập 2.
Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại A và B. Vẽ các đường kính AC và AD của hai đường tròn. Chứng minh rằng ba điểm C, B, D thẳng hàng.Bài giải:
 |
| Chứng minh C, B, D thẳng hàng. |
Ta có $\widehat{ABC}$ = $\widehat{ABD}$ = $90^0$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Khi đó $\widehat{ABC}$ + $\widehat{ABD}$ = $180^0$.
Suy ra ba điểm C, B, D thẳng hàng.
Giải bài 21 trang 76 sgk hình học 9 tập 2.
Cho hai đường tròn bằng nhau (O) và (O') cắt nhau tại A và B. Vẽ đường thẳng qua A cắt (O) tại M và cắt (O') tại N (A nằm giữa M và N). Hỏi MBN là tam giác gì? Tại sao?Bài giải:
 |
| MBN là tam giác gì? |
Theo định lí góc nội tiếp, ta có:
$\widehat{AMB}$ = $\frac{1}{2}$sđ⁀AmB. (2)
$\widehat{ANB}$ = $\frac{1}{2}$sđ⁀AnB. (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra $\widehat{AMB}$ = $\widehat{ANB}$
Vậy MBN là tam giác cân tại B.
Giải bài 22 trang 76 sgk hình học 9 tập 2.
Trên đường tròn (O) đường kính AB, lấy điểm M (khác A và B). Vẽ tiếp tuyến của (O) tại A. Đường thẳng BM cắt tiếp tuyến đó tại C. Chứng minh rằng ta luôn có: $MA^2$ = MB.MC.Bài giải:
 |
| Tiếp tuyến AC. |
Nên tam giác ABC vuông tại A.
Ta lại có $\widehat{AMB}$ = $90^0$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
Do đó AM là đường cao của tam giác vuông ABC.
Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông $h^2$ = b.c. Áp dụng vào tam giác vuông ABC, ta có:
$MA^2$ = MB.MC. (đpcm)
Giải bài 23 trang 76 sgk hình học 9 tập 2.
Cho đường tròn (O) và một điểm M cố định không nằm trên đường tròn. Qua M kẻ hai đường thẳng. Đường thẳng thứ nhất cắt (O) tại A và B. Đường thẳng thứ hai cắt (O) tại C và D. Chứng minh MA.MB = MC.MD.Hướng dẫn: Xét cả hai trường hợp điểm M nằm bên trong và bên ngoài đường tròn. Trong mỗi trường hợp, xét hai tam giác đồng dạng.
Bài giải:
a) Trường hợp M nằm bên trong đường tròn.
 |
| M nằm bên trong đường tròn. |
$\widehat{M_1}$ = $\widehat{M_2}$ (hai góc đối đỉnh)
$\widehat{A}$ = $\widehat{D}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung CB)
Vậy $\Delta$ MAC $\sim$ $\Delta$ MDB (g-g)
Suy ra $\frac{MA}{MD}$ = $\frac{MC}{MB}$ => MA.MB = MC.MD.
☺ Các bạn có thể xét hai tam giác đồng dạng MCB và MAD
b) Trường hợp M nằm bên ngoài đường tròn.
 |
| M nằm bên ngoài đường tròn. |
$\widehat{MDA}$ = $\widehat{MBC}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC)
$\widehat{M}$ chung.
Vậy $\Delta$ MAD $\sim$ $\Delta$ MCB (g-g)
Suy ra $\frac{MA}{MC}$ = $\frac{MD}{MB}$ => MA.MB = MC.MD.
☺ Các bạn có thể xét hai tam giác đồng dạng MAC và MDB.
Giải bài 24 trang 76 sgk hình học 9 tập 2.
Một chiếc cầu được thiết kế như hình 21 có độ dài AB = 40m, chiều cao MK = 3m. Hãy tính bán kính của đường tròn chứa cung AMB.Bài giải:
 |
| Hình 21. |
Khi đó ta có:
MN = 2R là đường kính của đường tròn chứa cung AMB.
KO = MN - (ON + MK) = 2R - (R + 3) = R - 3.
KN = KO + ON = R - 3 + R = 2R - 3.
Xét hai tam giác KAM và KNB có:
$\widehat{AKM}$ = $\widehat{BKN}$ =$90^0$
$\widehat{MAK}$ = $\widehat{MNB}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung MB)
Vậy $\Delta$ KAM $\sim$ $\Delta$ KNB (g-g)
Suy ra $\frac{KA}{KN}$ = $\frac{KM}{KB}$ => KA.KB = KN.KM
Thay các giá trị vào, ta được:
20.20 = 3(2R - 3)
<=> 400 = 6R - 9 <=> 6R = 409 <=> R = $\frac{409}{6}$ = 68,2.
Vậy bán kính của đường tròn chứa cung AMB bằng 68,2 (m).
Giải bài 25 trang 76 sgk hình học 9 tập 2.
Dựng một tam giác vuông, biết cạnh huyền dài 4cm và một cạnh góc vuông dài 2,5cm.Bài giải:
Với yêu cầu của bài toán, ta sẽ dựng như sau:
- Dùng thước thẳng có chia khoảng vẽ BC = 4cm.
- Dùng compa dựng nửa đường tròn tâm O, đường kính BC = 4cm.
- Vẽ điểm A thuộc nửa đường tròn (O; BC) sao cho AB = 2,5cm.
- Nối A với B, A với C ta được tam giác ABC là tam giác vuông cần dựng.
Chứng minh:
Ta có $\widehat{BAC}$ = $90^0$ (vì là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Mặt khác theo cách dựng ta có:
BC = 4cm, BA = 2,5cm.
Vậy tam giác ABC chính là tam giác vuông ta cần dựng.
Giải bài 26 trang 76 sgk hình học 9 tập 2.
Cho AB, BC, CA là ba dây của đường tròn (O). Từ điểm chính giữa M của cung AB vẽ dây MN song song với dây BC. Gọi giao điểm của MN và AC là S. Chứng minh SM = SC và SN = SA.Bài giải:
 |
| MN song song với dây BC. |
Ta có MN // BC (gt)
Nên $\widehat{NMC}$ = $\widehat{BCM}$ (hai góc so le trong)
Do đó ⁀MB = ⁀NC (theo hệ quả 1a) các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau)
Mặt khác ta có ⁀MA = ⁀MB (gt).
Suy ra ⁀MA = ⁀NC
Điều đó đồng nghĩa với $\widehat{ACM}$ = $\widehat{CMN}$ (hệ quả b) Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau.)
Vậy tam giác MSC cân tại S.
Vậy tam giác MSC cân tại S.
Suy ra SM = SC. (đpcm)
b) Chứng minh SN = SA.
Ta có ⁀MA = ⁀NC (cmt)
Suy ra $\widehat{ANM}$ = $\widehat{NAC}$ (hệ quả b) Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau.)
Vậy tam giác ASN cân tại S.
Suy ra SN = SA. (đpcm)
Xem bài trước: Giải bài tập góc nội tiếp.
Mỗi bài toán có nhiều cách giải, đừng quên chia sẻ cách giải hoặc ý kiến đóng góp của bạn ở khung nhận xét bên dưới. Xin cảm ơn!
EmoticonEmoticon