Góc ở tâm. Số đo cung.
Những kiến thức cơ bản về đường tròn đã khép lại chương II. Bước qua chương III, ta sẽ đi sâu tìm hiểu về các loại góc với đường tròn. Bài đầu tiên sẽ cho ta biết về góc ở tâm, số đo cung.
Cung AB kí hiệu là $\frown{AB}$
Để phân biệt hai cung có chung các mút là A và B như ở hình 1a), ta kí hiệu AmB, AnB
AmB là cung nhỏ và AnB là cung lớn
Với $\alpha$ = $180^0$ thì mỗi cung là một nửa đường tròn (h.1b)
- Cung nằm bên trong góc gọi là cung bị chắn.
Ở hình 1a), AmB là cung bị chắn bởi góc AOB, ta còn nói góc AOB chắn cung nhỏ AmB.
Ở hình 1b), ta nói góc bẹt COD chắn nửa cung tròn.
Số đo góc được xác định bằng thước đo góc, ta đã học điều đó. Còn số đo cung được xác định như thế nào?
Quan sát hình 2, ta thấy số đo của góc ở tâm chắn cung nhỏ AB bằng $100^0$, ta nói cung nhỏ AmB có số đo $100^0$.
Từ đó ta suy ra số đo cung lớn AnB:
sđ AnB = $360^0$ - $100^0$ = $260^0$.
Như vậy, số đo cung được định nghĩa như sau:
- Số đo của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó.
- Số đo của cung lớn bằng hiệu giữa $360^0$ và số đo của cung nhỏ (có chung hai mút với cung lớn)
- Số đo của nửa đường tròn bằng $180^0$
Số đo của cung AB được kí hiệu là sđ AB.
Chú ý:
- Cung nhỏ có số đo nhỏ hơn $180^0$
- Cung lớn có số đo lớn hơn $180^0$
- Khi hai mút của cung trùng nhau, ta có "cung không" với số đo $0^0$ và cung cả đường tròn có số đo $360^0$.
Cho góc ở tâm $\widehat{AOB}$, vẽ phân giác OC (C $\in$ (O) ). Có nhận xét gì về cung AC và CB.
Ta có $\widehat{AOB}$ = $\widehat{COB}$ (vì OC là tia phân giác)
Do đó $\left.\begin{matrix} sđ \widehat{AOB} = sđ AC\\ sđ \widehat{COB} = sđ CB\end{matrix}\right\}$ => sđ AC = sđ CB.
Vậy, trong một đường tròn hoặc hai đường tròn bằng nhau:
- Hai cung được gọi là bằng nhau nếu chúng có số đo bằng nhau.
- Trong hai cung, cung nào có số đo lớn hơn được gọi là cung lớn hơn.
Hai cung AB và CD bằng nhau được kí hiệu là AB = CD.
Cung EF nhỏ hơn cung GH được kí hiệu là EF < GH.
Dĩ nhiên khi đó cung GH sẽ lớn hơn cung EF và kí hiệu GH > EF.
Ta có định lí:
Với C $\in$ cung AB nhỏ, ta có:
$\left.\begin{matrix} sđ AC = \widehat{AOC}\\ sđ CB = \widehat{COB} \\ sđ AB = \widehat{AOB} \end{matrix}\right\}$ (theo định nghĩa số đo cung)
Mà $\widehat{AOB}$ = $\widehat{AOC}$ + $\widehat{COB}$ (vì tia OC nằm giữa hai tia OA và OB)
Suy ra sđ AB = sđ AC + sđ CB.
Lưu ý: Định lí trên vẫn đúng khi C $\in$ cung AB lớn.
Qua bài học này, ta đã nhận biết được góc ở tâm, phân biệt được hai cung tương ứng, trong đó có một cung bị chắn. Với thước đo góc trong tay, ta dễ dàng đo được góc ở tâm. Thấy rõ sự tương ứng giữa số đo độ của cung và của góc ở tâm chắn cung đó trong trường hợp cung nhỏ hoặc cung nửa đường tròn. Biết so sánh hai cung của một đường tròn hoặc hai đường tròn bằng nhau.
Mỗi bài toán có nhiều cách giải, đừng quên chia sẻ cách giải hoặc ý kiến đóng góp của bạn ở khung nhận xét bên dưới. Xin cảm ơn!
Góc ở tâm.
Định nghĩa góc ở tâm.Góc có đỉnh trùng với tâm đường tròn được gọi là góc ở tâm.- Hai cạnh của góc ở tâm cắt đường tròn tại hai điểm, do đó chia đường tròn thành hai cung. Với các góc $\alpha$ ($0^0$ < $\alpha$ < $180^0$) thì cung nằm bên trong góc được gọi là "cung nhỏ" và cung nằm bên ngoài góc được gọi là "cung lớn".
Cung AB kí hiệu là $\frown{AB}$
Để phân biệt hai cung có chung các mút là A và B như ở hình 1a), ta kí hiệu AmB, AnB
AmB là cung nhỏ và AnB là cung lớn
Với $\alpha$ = $180^0$ thì mỗi cung là một nửa đường tròn (h.1b)
- Cung nằm bên trong góc gọi là cung bị chắn.
 |
| Hình 1a $0^0$ < $\alpha$ < $180^0$ |
 |
| Hình 1b $\alpha$ = $180^0$ |
Số đo cung
Định nghĩa số đo cung:Số đo góc được xác định bằng thước đo góc, ta đã học điều đó. Còn số đo cung được xác định như thế nào?
Quan sát hình 2, ta thấy số đo của góc ở tâm chắn cung nhỏ AB bằng $100^0$, ta nói cung nhỏ AmB có số đo $100^0$.
Từ đó ta suy ra số đo cung lớn AnB:
sđ AnB = $360^0$ - $100^0$ = $260^0$.
Như vậy, số đo cung được định nghĩa như sau:
- Số đo của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó.
- Số đo của cung lớn bằng hiệu giữa $360^0$ và số đo của cung nhỏ (có chung hai mút với cung lớn)
- Số đo của nửa đường tròn bằng $180^0$
Số đo của cung AB được kí hiệu là sđ AB.
 |
| Hình 2. |
- Cung nhỏ có số đo nhỏ hơn $180^0$
- Cung lớn có số đo lớn hơn $180^0$
- Khi hai mút của cung trùng nhau, ta có "cung không" với số đo $0^0$ và cung cả đường tròn có số đo $360^0$.
So sánh hai cung.
Ta chỉ so sánh hai cung trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau.Cho góc ở tâm $\widehat{AOB}$, vẽ phân giác OC (C $\in$ (O) ). Có nhận xét gì về cung AC và CB.
Ta có $\widehat{AOB}$ = $\widehat{COB}$ (vì OC là tia phân giác)
Do đó $\left.\begin{matrix} sđ \widehat{AOB} = sđ AC\\ sđ \widehat{COB} = sđ CB\end{matrix}\right\}$ => sđ AC = sđ CB.
Vậy, trong một đường tròn hoặc hai đường tròn bằng nhau:
- Hai cung được gọi là bằng nhau nếu chúng có số đo bằng nhau.
- Trong hai cung, cung nào có số đo lớn hơn được gọi là cung lớn hơn.
Hai cung AB và CD bằng nhau được kí hiệu là AB = CD.
Cung EF nhỏ hơn cung GH được kí hiệu là EF < GH.
Dĩ nhiên khi đó cung GH sẽ lớn hơn cung EF và kí hiệu GH > EF.
Khi nào thì sđ cung AB = sđ cung AC + sđ cung CB?
Cho C là một điểm nằm trên cung AB, khi đó ta nói: điểm C chia cung AB thành hai cung AC và CB. |
| Hình 3. Điểm C nằm trên cung nhỏ AB. |
Nếu C là một điểm nằm trên cung AB thì: sđ AB = sđ AC + sđ CB.➤ Chứng minh đẳng thức sđ AB = sđ AC + sđ CB trong trường hợp điểm C nằm trên cung nhỏ AB.
Với C $\in$ cung AB nhỏ, ta có:
$\left.\begin{matrix} sđ AC = \widehat{AOC}\\ sđ CB = \widehat{COB} \\ sđ AB = \widehat{AOB} \end{matrix}\right\}$ (theo định nghĩa số đo cung)
Mà $\widehat{AOB}$ = $\widehat{AOC}$ + $\widehat{COB}$ (vì tia OC nằm giữa hai tia OA và OB)
Suy ra sđ AB = sđ AC + sđ CB.
 |
| Hình 4. Điểm C nằm trên cung lớn AB. |
Qua bài học này, ta đã nhận biết được góc ở tâm, phân biệt được hai cung tương ứng, trong đó có một cung bị chắn. Với thước đo góc trong tay, ta dễ dàng đo được góc ở tâm. Thấy rõ sự tương ứng giữa số đo độ của cung và của góc ở tâm chắn cung đó trong trường hợp cung nhỏ hoặc cung nửa đường tròn. Biết so sánh hai cung của một đường tròn hoặc hai đường tròn bằng nhau.
Mỗi bài toán có nhiều cách giải, đừng quên chia sẻ cách giải hoặc ý kiến đóng góp của bạn ở khung nhận xét bên dưới. Xin cảm ơn!
EmoticonEmoticon