Giải bài luyện tập hệ thức Vi-ét.

Hệ thức Vi-ét có rất nhiều ứng dụng quan trọng, chúng ta sẽ vận dụng một trong những ứng dụng đó để giải các bài tập trong phần luyện tập.

Giải bài tập 29 trang 54 sgk đại số 9 tập 2.

Không giải phương trình, hãy tính tổng và tích các nghiệm (nếu có) của mỗi phương trình sau:
a) 4$x^2$ + 2x - 5 = 0               b) 9$x^2$ - 12x + 4 = 0
c) 5$x^2$ + x + 2 = 0                d) 159$x^2$ - 2x - 1 = 0

Bài giải:

a) 4$x^2$ + 2x - 5 = 0
Ta có $\Delta'$ = $b'^2$ - ac = $1^2$ - 4.(-5) = 1 + 20 = 21 > 0
Nên phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1$, $x_2$
Do đó theo định lí Vi-ét, ta có
$x_1$ + $x_2$ = -$\frac{b}{a}$ = -$\frac{2}{4}$ = -$\frac{1}{2}$
$x_1$.$x_2$ = $\frac{c}{a}$ = $\frac{-5}{4}$
 b) 9$x^2$ - 12x + 4 = 0
Ta có $\Delta'$ = $b'^2$ - ac = $(-6)^2$ - 9.4 = 36 - 36 = 0
Nên phương trình có hai nghiệm kép $x_1$, $x_2$
Do đó theo định lí Vi-ét, ta có
$x_1$ + $x_2$ = -$\frac{b}{a}$ = -$\frac{-12}{9}$ = $\frac{4}{3}$
$x_1$.$x_2$ = $\frac{c}{a}$ = $\frac{4}{9}$
c) 5$x^2$ + x + 2 = 0
Ta có $\Delta$ = $b^2$ - 4ac = $1^2$ - 4.5.2 = 1 - 40 = -39 < 0
Nên phương trình vô nghiệm. Do đó không có các giá trị $x_1$, $x_2$
 d) 159$x^2$ - 2x - 1 = 0
Ta có $\Delta'$ = $b'^2$ - ac = $(-1)^2$ - 159.(-1) = 1 + 159 = 160 > 0
Nên phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1$, $x_2$
Do đó theo định lí Vi-ét, ta có
$x_1$ + $x_2$ = -$\frac{b}{a}$ = -$\frac{-2}{159}$ = $\frac{2}{159}$
$x_1$.$x_2$ = $\frac{c}{a}$ = $\frac{-1}{159}$

Giải bài tập 30 trang 54 sgk đại số 9 tập 2.

Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm, rồi tính tổng và tích các nghiệm theo m.
a) $x^2$ - 2x + m = 0                          b) $x^2$ + 2(m - 1)x + $m^2$ = 0

Bài giải:

a) $x^2$ - 2x + m = 0
Ta có $\Delta'$ = $b'^2$ - ac = $(-1)^2$ - 1.m = 1 - m
Phương trình có nghiệm khi $\Delta'$ $\geq$ 0 <=> 1 - m $\geq$ 0 <=> m $\leq$ 1
Vậy với m $\leq$ 1 phương trình có hai nghiệm $x_1$, $x_2$
$x_1$ + $x_2$ = -$\frac{b}{a}$ = -$\frac{-2}{1}$ = 2
$x_1$.$x_2$ = $\frac{c}{a}$ = m
b) $x^2$ + 2(m - 1)x + $m^2$ = 0
Ta có $\Delta'$ = $b'^2$ - ac = $(m -1)^2$ - 1.$m^2$ = $m^2$ - 2m + 1 - $m^2$ = - 2m + 1
Phương trình có nghiệm khi $\Delta'$ $\geq$ 0 <=> - 2m + 1 $\geq$ 0 <=> m $\leq$ $\frac{1}{2}$
Vậy với m $\leq$ $\frac{1}{2}$ phương trình có hai nghiệm $x_1$, $x_2$
$x_1$ + $x_2$ = -$\frac{b}{a}$ = -2(m - 1)
$x_1$.$x_2$ = $\frac{c}{a}$ = $m^2$

Giải bài tập 31 trang 54 sgk đại số 9 tập 2.

Tính nhẩm nghiệm của các phương trình:
a) 1,5$x^2$ - 1,6x + 0,1 = 0                          b) $\sqrt{3}$$x^2$ - (1 - $\sqrt{3}$)x - 1 = 0
c) (2 - $\sqrt{3}$)$x^2$ + 2$\sqrt{3}$x - (2 + $\sqrt{3}$)  = 0          d) (m - 1)$x^2$ - (2m + 3)x + m + 4 = 0 với m $\neq$ 1

Bài giải:

a) 1,5$x^2$ - 1,6x + 0,1 = 0
Ta có a + b + c = 1,5 + (-1,6) + 0,1 = 0
Vậy phương trình có hai nghiệm $x_1$ = 1 và $x_2$ = $\frac{c}{a}$ = $\frac{0,1}{0,5}$ = $\frac{1}{15}$
b) $\sqrt{3}$$x^2$ - (1 - $\sqrt{3}$)x - 1 = 0

Ta có a - b + c = $\sqrt{3}$ - [- (1 - $\sqrt{3}$)] + (-1) = $\sqrt{3}$ + 1 - $\sqrt{3}$ - 1 = 0
Vậy phương trình có hai nghiệm $x_1$ = -1 và $x_2$ = -$\frac{c}{a}$ = -$\frac{-1}{\sqrt{3}}$ = $\frac{\sqrt{3}}{3}$
c) (2 - $\sqrt{3}$)$x^2$ + 2$\sqrt{3}$x - (2 + $\sqrt{3}$) = 0
Ta có a + b + c = 2 - $\sqrt{3}$ + 2$\sqrt{3}$ - (2 + $\sqrt{3}$) = 0
Vậy phương trình có hai nghiệm $x_1$ = 1 và $x_2$ = $\frac{c}{a}$ = $\frac{- (2 + \sqrt{3})}{2 - \sqrt{3}}$ = $\frac{-(2 + \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})}{(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})}$ = 7 - 4$\sqrt{3}$

d) (m - 1)$x^2$ - (2m + 3)x + m + 4 = 0 với m $\neq$ 1
Ta có a + b + c = m - 1 + [-(2m + 3)] + m + 4 = m - 1 -2m -3 + m + 4 = 0
Vậy phương trình có hai nghiệm $x_1$ = 1 và $x_2$ = $\frac{c}{a}$ = $\frac{m + 4}{m - 1}$

Giải bài tập 32 trang 54 sgk đại số 9 tập 2.

Tìm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau:
a) u + v = 42, uv = 441         b) u + v = -42, uv = -400      c) u - v = 5, uv = 24

Bài giải:

a) u + v = 42, uv = 441
Hai số u, v là nghiệm của phương trình $X^2$ - Sx + P = 0 hay $X^2$ - 42x + 441 = 0
Ta có $\Delta'$ = $b'^2$ - ac = $21^2$ - 1.441 = 441 - 441 = 0
Vậy phương trình có nghiệm kép $X_1$ = $X_2$ = -$\frac{b'}{a}$ = 21
Do đó u = v = 21
b) u + v = -42, uv = -400
Hai số u, v là nghiệm của phương trình $X^2$ - Sx + P = 0 hay $X^2$ - (-42)x + (-400) = 0 <=> $X^2$ + 42x - 400 = 0
Ta có $\Delta'$ = $b'^2$ - ac = $21^2$ - 1.(-400) = 441 + 400 = 841 > 0
$\sqrt{\Delta'}$ = $\sqrt{841}$ = 29
Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt:
$X_1$ = $\frac{-21 + 29}{1}$ = -21 + 29 = 8, $X_1$ = $\frac{-21 - 29}{1}$ = -50
Do đó u = 8 và v = -50 hoặc ngược lại.
c) u - v = 5, uv = 24
Đặt v' = -v. Khi đó u - v = u + v' = 5 và u.v' = -24
Hai số u, v' là nghiệm của phương trình $X^2$ - Sx + P = 0 hay $X^2$ - 5x - 24 = 0
Ta có $\Delta$ = $b^2$ - 4ac = $(-5)^2$ - 4.1.(-24) = 25 + 96 = 121 > 0
$\sqrt{\Delta}$ = $\sqrt{121}$ = 11
Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt:
$X_1$ = $\frac{-(-5) + 11}{2}$ = 8, $X_1$ = $\frac{-(-5) - 11}{2}$ = -3
Suy ra u = 8 và v' = -3 hoặc u = -3 và v' = 8
# Nếu v' = -3 thì v = 3, hai số u, v cần tìm là u = 8 và v = 3
# Nếu v' = 8 thì v = -8, hai số u, v cần tìm là u = -3 và v = -8

Giải bài tập 33 trang 54 sgk đại số 9 tập 2.

Chứng tỏ rằng nếu phương trình a$x^2$ + bx + c = 0 có nghiệm là $x_1$ và $x_2$ thì tam thức a$x^2$ + bx + c phân tích được thành nhân tử như sau:
a$x^2$ + bx + c = a(x - $x_1$)(x - $x_2$)
Áp dụng. Phân tích đa thức thành nhân tử:
a) 2$x^2$ - 5x + 3                 b) 3$x^2$ + 8x + 2

Bài giải:

# Chứng minh: a$x^2$ + bx + c = a(x - $x_1$)(x - $x_2$)
Ta có a$x^2$ + bx + c = a.[$x^2$ - (-$\frac{b}{a}$)x + $\frac{c}{a}$] = a[$x^2$ - ($x_1$ + $x_2$)x + $x_1$.$x_2$]
= a($x^2$ - $x_1$.x - $x_2$.x + $x_1$.$x_2$) = a[(x - $x_1$)x - (x - $x_1$)$x_2$] = a(x - $x_1$)(x - $x_2$)

# Áp dụng:
a) 2$x^2$ - 5x + 3
Ta có a + b + c = 2 - 5 + 3 = 0
Nên phương trình có hai nghiệm $x_1$ = 1, $x_2$ = $\frac{c}{a}$ = $\frac{3}{2}$
Do đó 2$x^2$ - 5x + 3 = 2(x - 1)(x - $\frac{3}{2}$)
b) 3$x^2$ + 8x + 2
Ta có $\Delta'$ = $b'^2$ - ac = $4^2$ - 3.2 = 16 - 6 = 10
$\sqrt{\Delta'}$ = $\sqrt{10}$
Phương trình có hai nghiệm:
$x_1$ = $\frac{-4 + \sqrt{10}}{3}$ , $x_1$ = $\frac{-4 - \sqrt{10}}{3}$
Do đó: 3$x^2$ + 8x + 2 = 3[x - ($\frac{-4 + \sqrt{10}}{3}$)][x - ($\frac{-4 - \sqrt{10}}{3}$)] <=> 3$x^2$ + 8x + 2 = 3(x + $\frac{4 + \sqrt{10}}{3}$])(x + $\frac{4 - \sqrt{10}}{3}$)

Xem bài trước: Giải bài tập hệ thức Vi-ét

Mỗi bài toán có nhiều cách giải, đừng quên chia sẻ cách giải hoặc ý kiến đóng góp của bạn ở khung nhận xét bên dưới. Xin cảm ơn!

CÙNG CHIA SẺ ĐỂ KIẾN THỨC ĐƯỢC LAN TỎA!

Be a Fan

Bài học liên quan.

• Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn. Góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn.Nói về góc với đường tròn, ta đã được làm quen với góc ở tâm, góc nội tiếp, góc tạo bởi tia tiếp tu
• Giải bài tập phương trình quy về phương trình bậc hai.Để giải những phương trình trùng phương, phương trình chứa ẩn ở mẫu... trước hết, ta đưa về phương
• Giải bài luyện tập góc nội tiếp.Những kiến thức liên quan đến góc nội tiếp rất rộng, đòi hỏi ta không chỉ nắm định nghĩa và các hệ
• Luyện tập phương trình quy về phương trình bậc hai. Giải bài tập 37 trang 56 sgk đại số 9 tập 2 Giải phương trình trùng phương a) 9$x^4$ - 10$x^2$ + 1
• Luyện tập giải bài toán bằng cách lập phương trình Giải bài 45 sgk trang 59 đại số 9 tập 2 Tích của hai số tự nhiên liên tiếp lớn hơn tổng của chúng
• Giải bài ôn tập chương IV đại số 9 tập 2(tt)Định lí Vi-ét được vận dụng linh hoạt sẽ giúp các bạn tìm nghiệm của phương trình bậc 2 một cách nh