Giải bài luyện tập hệ thức Vi-ét.
Hệ thức Vi-ét có rất nhiều ứng dụng quan trọng, chúng ta sẽ vận dụng một trong những ứng dụng đó để giải các bài tập trong phần luyện tập.
a) 4$x^2$ + 2x - 5 = 0 b) 9$x^2$ - 12x + 4 = 0
c) 5$x^2$ + x + 2 = 0 d) 159$x^2$ - 2x - 1 = 0
Ta có $\Delta'$ = $b'^2$ - ac = $1^2$ - 4.(-5) = 1 + 20 = 21 > 0
Nên phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1$, $x_2$
Do đó theo định lí Vi-ét, ta có
$x_1$ + $x_2$ = -$\frac{b}{a}$ = -$\frac{2}{4}$ = -$\frac{1}{2}$
$x_1$.$x_2$ = $\frac{c}{a}$ = $\frac{-5}{4}$
b) 9$x^2$ - 12x + 4 = 0
Ta có $\Delta'$ = $b'^2$ - ac = $(-6)^2$ - 9.4 = 36 - 36 = 0
Nên phương trình có hai nghiệm kép $x_1$, $x_2$
Do đó theo định lí Vi-ét, ta có
$x_1$ + $x_2$ = -$\frac{b}{a}$ = -$\frac{-12}{9}$ = $\frac{4}{3}$
$x_1$.$x_2$ = $\frac{c}{a}$ = $\frac{4}{9}$
c) 5$x^2$ + x + 2 = 0
Ta có $\Delta$ = $b^2$ - 4ac = $1^2$ - 4.5.2 = 1 - 40 = -39 < 0
Nên phương trình vô nghiệm. Do đó không có các giá trị $x_1$, $x_2$
d) 159$x^2$ - 2x - 1 = 0
Ta có $\Delta'$ = $b'^2$ - ac = $(-1)^2$ - 159.(-1) = 1 + 159 = 160 > 0
Nên phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1$, $x_2$
Do đó theo định lí Vi-ét, ta có
$x_1$ + $x_2$ = -$\frac{b}{a}$ = -$\frac{-2}{159}$ = $\frac{2}{159}$
$x_1$.$x_2$ = $\frac{c}{a}$ = $\frac{-1}{159}$
a) $x^2$ - 2x + m = 0 b) $x^2$ + 2(m - 1)x + $m^2$ = 0
Ta có $\Delta'$ = $b'^2$ - ac = $(-1)^2$ - 1.m = 1 - m
Phương trình có nghiệm khi $\Delta'$ $\geq$ 0 <=> 1 - m $\geq$ 0 <=> m $\leq$ 1
Vậy với m $\leq$ 1 phương trình có hai nghiệm $x_1$, $x_2$
$x_1$ + $x_2$ = -$\frac{b}{a}$ = -$\frac{-2}{1}$ = 2
$x_1$.$x_2$ = $\frac{c}{a}$ = m
b) $x^2$ + 2(m - 1)x + $m^2$ = 0
Ta có $\Delta'$ = $b'^2$ - ac = $(m -1)^2$ - 1.$m^2$ = $m^2$ - 2m + 1 - $m^2$ = - 2m + 1
Phương trình có nghiệm khi $\Delta'$ $\geq$ 0 <=> - 2m + 1 $\geq$ 0 <=> m $\leq$ $\frac{1}{2}$
Vậy với m $\leq$ $\frac{1}{2}$ phương trình có hai nghiệm $x_1$, $x_2$
$x_1$ + $x_2$ = -$\frac{b}{a}$ = -2(m - 1)
$x_1$.$x_2$ = $\frac{c}{a}$ = $m^2$
a) 1,5$x^2$ - 1,6x + 0,1 = 0 b) $\sqrt{3}$$x^2$ - (1 - $\sqrt{3}$)x - 1 = 0
c) (2 - $\sqrt{3}$)$x^2$ + 2$\sqrt{3}$x - (2+ $\sqrt{3}$) = 0 d) (m - 1)$x^2$ - (2m + 3)x + m + 4 = 0 với m $\neq$ 1
Ta có a + b + c = 1,5 + (-1,6) + 0,1 = 0
Vậy phương trình có hai nghiệm $x_1$ = 1 và $x_2$ = $\frac{c}{a}$ = $\frac{0,1}{0,5}$ = $\frac{1}{15}$
b) $\sqrt{3}$$x^2$ - (1 - $\sqrt{3}$)x - 1 = 0
a) u + v = 42, uv = 441 b) u + v = -42, uv = -400 c) u - v = 5, uv = 24
Hai số u, v là nghiệm của phương trình $X^2$ - Sx + P = 0 hay $X^2$ - 42x + 441 = 0
Ta có $\Delta'$ = $b'^2$ - ac = $21^2$ - 1.441 = 441 - 441 = 0
Vậy phương trình có nghiệm kép $X_1$ = $X_2$ = -$\frac{b'}{a}$ = 21
Do đó u = v = 21
b) u + v = -42, uv = -400
Hai số u, v là nghiệm của phương trình $X^2$ - Sx + P = 0 hay $X^2$ - (-42)x + (-400) = 0 <=> $X^2$ + 42x - 400 = 0
Ta có $\Delta'$ = $b'^2$ - ac = $21^2$ - 1.(-400) = 441 + 400 = 841 > 0
$\sqrt{\Delta'}$ = $\sqrt{841}$ = 29
Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt:
$X_1$ = $\frac{-21 + 29}{1}$ = -21 + 29 = 8, $X_1$ = $\frac{-21 - 29}{1}$ = -50
Do đó u = 8 và v = -50 hoặc ngược lại.
c) u - v = 5, uv = 24
Đặt v' = -v. Khi đó u - v = u + v' = 5 và u.v' = -24
Hai số u, v' là nghiệm của phương trình $X^2$ - Sx + P = 0 hay $X^2$ - 5x - 24 = 0
Ta có $\Delta$ = $b^2$ - 4ac = $(-5)^2$ - 4.1.(-24) = 25 + 96 = 121 > 0
$\sqrt{\Delta}$ = $\sqrt{121}$ = 11
Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt:
$X_1$ = $\frac{-(-5) + 11}{2}$ = 8, $X_1$ = $\frac{-(-5) - 11}{2}$ = -3
Suy ra u = 8 và v' = -3 hoặc u = -3 và v' = 8
# Nếu v' = -3 thì v = 3, hai số u, v cần tìm là u = 8 và v = 3
# Nếu v' = 8 thì v = -8, hai số u, v cần tìm là u = -3 và v = -8
a$x^2$ + bx + c = a(x - $x_1$)(x - $x_2$)
Áp dụng. Phân tích đa thức thành nhân tử:
a) 2$x^2$ - 5x + 3 b) 3$x^2$ + 8x + 2
Ta có a$x^2$ + bx + c = a.[$x^2$ - (-$\frac{b}{a}$)x + $\frac{c}{a}$] = a[$x^2$ - ($x_1$ + $x_2$)x + $x_1$.$x_2$]
= a($x^2$ - $x_1$.x - $x_2$.x + $x_1$.$x_2$) = a[(x - $x_1$)x - (x - $x_1$)$x_2$] = a(x - $x_1$)(x - $x_2$)
# Áp dụng:
a) 2$x^2$ - 5x + 3
Ta có a + b + c = 2 - 5 + 3 = 0
Nên phương trình có hai nghiệm $x_1$ = 1, $x_2$ = $\frac{c}{a}$ = $\frac{3}{2}$
Do đó 2$x^2$ - 5x + 3 = 2(x - 1)(x - $\frac{3}{2}$)
b) 3$x^2$ + 8x + 2
Ta có $\Delta'$ = $b'^2$ - ac = $4^2$ - 3.2 = 16 - 6 = 10
$\sqrt{\Delta'}$ = $\sqrt{10}$
Phương trình có hai nghiệm:
$x_1$ = $\frac{-4 + \sqrt{10}}{3}$ , $x_1$ = $\frac{-4 - \sqrt{10}}{3}$
Do đó: 3$x^2$ + 8x + 2 = 3[x - ($\frac{-4 + \sqrt{10}}{3}$)][x - ($\frac{-4 - \sqrt{10}}{3}$)] <=> 3$x^2$ + 8x + 2 = 3(x + $\frac{4 + \sqrt{10}}{3}$])(x + $\frac{4 - \sqrt{10}}{3}$)
Mỗi bài toán có nhiều cách giải, đừng quên chia sẻ cách giải hoặc ý kiến đóng góp của bạn ở khung nhận xét bên dưới. Xin cảm ơn!
Giải bài tập 29 trang 54 sgk đại số 9 tập 2.
Không giải phương trình, hãy tính tổng và tích các nghiệm (nếu có) của mỗi phương trình sau:a) 4$x^2$ + 2x - 5 = 0 b) 9$x^2$ - 12x + 4 = 0
c) 5$x^2$ + x + 2 = 0 d) 159$x^2$ - 2x - 1 = 0
Bài giải:
a) 4$x^2$ + 2x - 5 = 0Ta có $\Delta'$ = $b'^2$ - ac = $1^2$ - 4.(-5) = 1 + 20 = 21 > 0
Nên phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1$, $x_2$
Do đó theo định lí Vi-ét, ta có
$x_1$ + $x_2$ = -$\frac{b}{a}$ = -$\frac{2}{4}$ = -$\frac{1}{2}$
$x_1$.$x_2$ = $\frac{c}{a}$ = $\frac{-5}{4}$
b) 9$x^2$ - 12x + 4 = 0
Ta có $\Delta'$ = $b'^2$ - ac = $(-6)^2$ - 9.4 = 36 - 36 = 0
Nên phương trình có hai nghiệm kép $x_1$, $x_2$
Do đó theo định lí Vi-ét, ta có
$x_1$ + $x_2$ = -$\frac{b}{a}$ = -$\frac{-12}{9}$ = $\frac{4}{3}$
$x_1$.$x_2$ = $\frac{c}{a}$ = $\frac{4}{9}$
c) 5$x^2$ + x + 2 = 0
Ta có $\Delta$ = $b^2$ - 4ac = $1^2$ - 4.5.2 = 1 - 40 = -39 < 0
Nên phương trình vô nghiệm. Do đó không có các giá trị $x_1$, $x_2$
d) 159$x^2$ - 2x - 1 = 0
Ta có $\Delta'$ = $b'^2$ - ac = $(-1)^2$ - 159.(-1) = 1 + 159 = 160 > 0
Nên phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1$, $x_2$
Do đó theo định lí Vi-ét, ta có
$x_1$ + $x_2$ = -$\frac{b}{a}$ = -$\frac{-2}{159}$ = $\frac{2}{159}$
$x_1$.$x_2$ = $\frac{c}{a}$ = $\frac{-1}{159}$
Giải bài tập 30 trang 54 sgk đại số 9 tập 2.
Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm, rồi tính tổng và tích các nghiệm theo m.a) $x^2$ - 2x + m = 0 b) $x^2$ + 2(m - 1)x + $m^2$ = 0
Bài giải:
a) $x^2$ - 2x + m = 0Ta có $\Delta'$ = $b'^2$ - ac = $(-1)^2$ - 1.m = 1 - m
Phương trình có nghiệm khi $\Delta'$ $\geq$ 0 <=> 1 - m $\geq$ 0 <=> m $\leq$ 1
Vậy với m $\leq$ 1 phương trình có hai nghiệm $x_1$, $x_2$
$x_1$ + $x_2$ = -$\frac{b}{a}$ = -$\frac{-2}{1}$ = 2
$x_1$.$x_2$ = $\frac{c}{a}$ = m
b) $x^2$ + 2(m - 1)x + $m^2$ = 0
Ta có $\Delta'$ = $b'^2$ - ac = $(m -1)^2$ - 1.$m^2$ = $m^2$ - 2m + 1 - $m^2$ = - 2m + 1
Phương trình có nghiệm khi $\Delta'$ $\geq$ 0 <=> - 2m + 1 $\geq$ 0 <=> m $\leq$ $\frac{1}{2}$
Vậy với m $\leq$ $\frac{1}{2}$ phương trình có hai nghiệm $x_1$, $x_2$
$x_1$ + $x_2$ = -$\frac{b}{a}$ = -2(m - 1)
$x_1$.$x_2$ = $\frac{c}{a}$ = $m^2$
Giải bài tập 31 trang 54 sgk đại số 9 tập 2.
Tính nhẩm nghiệm của các phương trình:a) 1,5$x^2$ - 1,6x + 0,1 = 0 b) $\sqrt{3}$$x^2$ - (1 - $\sqrt{3}$)x - 1 = 0
c) (2 - $\sqrt{3}$)$x^2$ + 2$\sqrt{3}$x - (2
Bài giải:
a) 1,5$x^2$ - 1,6x + 0,1 = 0Ta có a + b + c = 1,5 + (-1,6) + 0,1 = 0
Vậy phương trình có hai nghiệm $x_1$ = 1 và $x_2$ = $\frac{c}{a}$ = $\frac{0,1}{0,5}$ = $\frac{1}{15}$
b) $\sqrt{3}$$x^2$ - (1 - $\sqrt{3}$)x - 1 = 0
Ta có a - b + c = $\sqrt{3}$ - [- (1 - $\sqrt{3}$)] + (-1) = $\sqrt{3}$ + 1 - $\sqrt{3}$ - 1 = 0
Vậy phương trình có hai nghiệm $x_1$ = -1 và $x_2$ = -$\frac{c}{a}$ = -$\frac{-1}{\sqrt{3}}$ = $\frac{\sqrt{3}}{3}$
c) (2 - $\sqrt{3}$)$x^2$ + 2$\sqrt{3}$x - (2 + $\sqrt{3}$) = 0
Ta có a + b + c = 2 - $\sqrt{3}$ + 2$\sqrt{3}$ - (2 + $\sqrt{3}$) = 0
Vậy phương trình có hai nghiệm $x_1$ = 1 và $x_2$ = $\frac{c}{a}$ = $\frac{- (2 + \sqrt{3})}{2 - \sqrt{3}}$ = $\frac{-(2 + \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})}{(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})}$ = 7 - 4$\sqrt{3}$
Vậy phương trình có hai nghiệm $x_1$ = -1 và $x_2$ = -$\frac{c}{a}$ = -$\frac{-1}{\sqrt{3}}$ = $\frac{\sqrt{3}}{3}$
c) (2 - $\sqrt{3}$)$x^2$ + 2$\sqrt{3}$x - (2 + $\sqrt{3}$) = 0
Ta có a + b + c = 2 - $\sqrt{3}$ + 2$\sqrt{3}$ - (2 + $\sqrt{3}$) = 0
Vậy phương trình có hai nghiệm $x_1$ = 1 và $x_2$ = $\frac{c}{a}$ = $\frac{- (2 + \sqrt{3})}{2 - \sqrt{3}}$ = $\frac{-(2 + \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})}{(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})}$ = 7 - 4$\sqrt{3}$
d) (m - 1)$x^2$ - (2m + 3)x + m + 4 = 0 với m $\neq$ 1
Ta có a + b + c = m - 1 + [-(2m + 3)] + m + 4 = m - 1 -2m -3 + m + 4 = 0
Vậy phương trình có hai nghiệm $x_1$ = 1 và $x_2$ = $\frac{c}{a}$ = $\frac{m + 4}{m - 1}$
Ta có a + b + c = m - 1 + [-(2m + 3)] + m + 4 = m - 1 -2m -3 + m + 4 = 0
Vậy phương trình có hai nghiệm $x_1$ = 1 và $x_2$ = $\frac{c}{a}$ = $\frac{m + 4}{m - 1}$
Giải bài tập 32 trang 54 sgk đại số 9 tập 2.
Tìm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau:a) u + v = 42, uv = 441 b) u + v = -42, uv = -400 c) u - v = 5, uv = 24
Bài giải:
a) u + v = 42, uv = 441Hai số u, v là nghiệm của phương trình $X^2$ - Sx + P = 0 hay $X^2$ - 42x + 441 = 0
Ta có $\Delta'$ = $b'^2$ - ac = $21^2$ - 1.441 = 441 - 441 = 0
Vậy phương trình có nghiệm kép $X_1$ = $X_2$ = -$\frac{b'}{a}$ = 21
Do đó u = v = 21
b) u + v = -42, uv = -400
Hai số u, v là nghiệm của phương trình $X^2$ - Sx + P = 0 hay $X^2$ - (-42)x + (-400) = 0 <=> $X^2$ + 42x - 400 = 0
Ta có $\Delta'$ = $b'^2$ - ac = $21^2$ - 1.(-400) = 441 + 400 = 841 > 0
$\sqrt{\Delta'}$ = $\sqrt{841}$ = 29
Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt:
$X_1$ = $\frac{-21 + 29}{1}$ = -21 + 29 = 8, $X_1$ = $\frac{-21 - 29}{1}$ = -50
Do đó u = 8 và v = -50 hoặc ngược lại.
c) u - v = 5, uv = 24
Đặt v' = -v. Khi đó u - v = u + v' = 5 và u.v' = -24
Hai số u, v' là nghiệm của phương trình $X^2$ - Sx + P = 0 hay $X^2$ - 5x - 24 = 0
Ta có $\Delta$ = $b^2$ - 4ac = $(-5)^2$ - 4.1.(-24) = 25 + 96 = 121 > 0
$\sqrt{\Delta}$ = $\sqrt{121}$ = 11
Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt:
$X_1$ = $\frac{-(-5) + 11}{2}$ = 8, $X_1$ = $\frac{-(-5) - 11}{2}$ = -3
Suy ra u = 8 và v' = -3 hoặc u = -3 và v' = 8
# Nếu v' = -3 thì v = 3, hai số u, v cần tìm là u = 8 và v = 3
# Nếu v' = 8 thì v = -8, hai số u, v cần tìm là u = -3 và v = -8
Giải bài tập 33 trang 54 sgk đại số 9 tập 2.
Chứng tỏ rằng nếu phương trình a$x^2$ + bx + c = 0 có nghiệm là $x_1$ và $x_2$ thì tam thức a$x^2$ + bx + c phân tích được thành nhân tử như sau:a$x^2$ + bx + c = a(x - $x_1$)(x - $x_2$)
Áp dụng. Phân tích đa thức thành nhân tử:
a) 2$x^2$ - 5x + 3 b) 3$x^2$ + 8x + 2
Bài giải:
# Chứng minh: a$x^2$ + bx + c = a(x - $x_1$)(x - $x_2$)Ta có a$x^2$ + bx + c = a.[$x^2$ - (-$\frac{b}{a}$)x + $\frac{c}{a}$] = a[$x^2$ - ($x_1$ + $x_2$)x + $x_1$.$x_2$]
= a($x^2$ - $x_1$.x - $x_2$.x + $x_1$.$x_2$) = a[(x - $x_1$)x - (x - $x_1$)$x_2$] = a(x - $x_1$)(x - $x_2$)
# Áp dụng:
a) 2$x^2$ - 5x + 3
Ta có a + b + c = 2 - 5 + 3 = 0
Nên phương trình có hai nghiệm $x_1$ = 1, $x_2$ = $\frac{c}{a}$ = $\frac{3}{2}$
Do đó 2$x^2$ - 5x + 3 = 2(x - 1)(x - $\frac{3}{2}$)
b) 3$x^2$ + 8x + 2
Ta có $\Delta'$ = $b'^2$ - ac = $4^2$ - 3.2 = 16 - 6 = 10
$\sqrt{\Delta'}$ = $\sqrt{10}$
Phương trình có hai nghiệm:
$x_1$ = $\frac{-4 + \sqrt{10}}{3}$ , $x_1$ = $\frac{-4 - \sqrt{10}}{3}$
Do đó: 3$x^2$ + 8x + 2 = 3[x - ($\frac{-4 + \sqrt{10}}{3}$)][x - ($\frac{-4 - \sqrt{10}}{3}$)] <=> 3$x^2$ + 8x + 2 = 3(x + $\frac{4 + \sqrt{10}}{3}$])(x + $\frac{4 - \sqrt{10}}{3}$)
Xem bài trước: Giải bài tập hệ thức Vi-ét
EmoticonEmoticon