Hệ thức Vi-ét và ứng dụng.
Hệ thức Vi-ét
Sau khi áp dụng linh hoạt công thức nghiệm của phương trình bậc hai để giải các bài tập liên quan, ta nhận thấy rằng, nếu phương trình bậc hai a$x^2$ + bx + c = 0 có nghiệm thì dù đó là hai nghiệm phân biệt hay nghiệm kép, ta đều có thể viết các nghiệm đó dưới dạng:$x_1$ = $\frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$; $x_2$ = $\frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$.
Mối liên hệ giữa các nghiệm với các hệ số của phương trình bậc hai đã được Vi-ét, nhà toán học người Pháp khái quát thành một định lý như sau:
Định lí Vi-ét
Nếu $x_1$, $x_2$ là hai nghiệm của phương trình a$x^2$ + bx + c = 0 (a $\neq$ 0) thì:Như vậy, với định lí Vi-ét, nếu biết một nghiệm của phương trình bậc hai thì có thể suy ra nghiệm kia. Khi đó có hai trường hợp đặc biệt ta có thể áp dụng để tính nhẩm nghiệm như sau:
$\begin{cases}S = x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \\ P = x_1.x_2 = \frac{c}{a} \end{cases}$
Trường hợp 1: Nếu phương trình a$x^2$ + bx + c = 0 (a $\neq$ 0) có a + b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là $x_1$ = 1, nghiệm kia sẽ là $x_2$ = $\frac{c}{a}$
Trường hợp 2: Nếu phương trình a$x^2$ + bx + c = 0 (a $\neq$ 0) có a - b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là $x_1$ = -1, nghiệm kia sẽ là $x_2$ = -$\frac{c}{a}$.
Tìm hai số biết tổng và tích của chúng
Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình $x^2$ - Sx + P = 0Điều kiện để có hai số đó là $S^2$ - 4P $\geq$ 0
EmoticonEmoticon