Giải bài tập vị trí tương đối của hai đường tròn.
Với một người giàu sức sáng tạo sẽ có rất nhiều ý tưởng độc đáo từ hai đường tròn. Còn với ta, sự sáng tạo đơn giản chỉ là dịch chuyển hai đường tròn ở ba vị trí tương đối mà cô giáo vừa dạy, những bài toán với các yêu cầu khác nhau sẽ xuất hiện☺ Việc đi tìm lời giải cho những bài toán đó cũng vô cùng thú vị, giúp ta hiểu đầy đủ hơn về vị trí tương đối của hai đường tròn.
Bài giải:
Xét tam giác OAC có OA = OC = R (O)
Do đó tam giác OAC cân tại O
Suy ra $\widehat{C}$ = $\widehat{A_1}$
Tương tự ta có tam giác O'AD cân tại O'
Nên $\widehat{A_2}$ = $\widehat{D}$
Mà $\widehat{A_1}$ = $\widehat{A_2}$ (hai góc đối đỉnh)
Do đó $\widehat{C}$ = $\widehat{D}$
Suy ra OC // O'D (hai góc so le trong bằng nhau)
Ngoài việc "cặm cụi" chứng minh, ta nên để ý một chút là trong quá trình chứng minh ta đã sử dụng tính chất khi hai đường tròn tiếp xúc nhau tại A thì A nằm trên đường nối tâm.
Bài giải:
Gọi I là giao điểm của OO' và AB.
Theo tính chất hai đường nối tâm, ta có:
OO' $\perp$ AB và IA = IB = $\frac{AB}{2}$ = 12 cm
Áp dụng định lí Pi-ta-go trong tam giác AIO vuông tại I, ta có:
$OA^2$ = $OI^2$ + $IA^2$
=> $OI^2$ = $OA^2$ - $IA^2$ = $20^2$ - $12^2$ = 400 - 144 = 256
=> OI = $\sqrt{256}$ = 16 cm
Áp dụng định lí Pi-ta-go trong tam giác AIO' vuông tại I, ta có:
$O'A^2$ = $O'I^2$ + $IA^2$
=> $O'I^2$ = $O'A^2$ - $IA^2$ = $15^2$ - $12^2$ = 225 - 144 = 81
=> O'I = $\sqrt{81}$ = 9 cm
➤ Nếu O và O' nằm khác phía đối với AB thì:
OO' = OI + IO' = 16 + 9 = 25 cm
➤ Nếu O và O' nằm cùng phía đối với AB thì:
OO' = OI - O'I = 16 - 9 = 7 cm.
Bài giải:
Ta sẽ điền như sau:
a) Hãy xác định vị trí tương đối của hai đường tròn.
b) Dây AD của đường tròn lớn cắt đường tròn nhỏ ở C. Chứng minh rằng AC = CD.
Bài giải:
a) Ta có O' là trung điểm của OA (vì OA là đường kính của đường tròn O')
Nên O' nằm giữa A và O
Suy ra AO' + O'O = AO
=> OO' = AO - AO' hay OO' = R - r
Vậy hai đường tròn (O) và (O') tiếp xúc trong.
b) Một bài toán rất thú vị, bởi ta có thể chứng minh theo nhiều cách khác nhau.
➤ Cách 1:
Xét tam giác ACO có:
AO' = OO' = O'C = r (O')
Tam giác ACO có trung tuyến CO' = $\frac{AO}{2}$
Nên tam giác ACO vuông tại C => OC $\perp$ AD
Theo định lí đường kính và dây suy ra AC = CD.
➤ Cách 2: Chứng minh OC $\perp$ AD xong, ta lập luận:
Tam giác cân AOD có đường cao OC xuất phát từ đỉnh O nên đồng thời là đường trung tuyến.
Do đó AC = CD.
➤ Cách 3:
Ta có $\widehat{C_1}$ = $\widehat{A}$ (tam giác AO'C cân tại O')
Mà $\widehat{A}$ = $\widehat{D}$ (tam giác AOD cân tại O)
Do đó $\widehat{C_1}$ = $\widehat{D}$
Suy ra O'C // OD (hai góc đồng vị bằng nhau)
Xét tam giác AOD có:
O'A = O'O.
O'C //OD
Do đó O'C là đường trung bình của tam giác AOD.
Suy ra AC = CD. (đpcm)
Bài giải:
➤ Trường hợp điểm C nằm giữa A và D.
Vẽ OH $\perp$ CD. Khi đó OH cũng $\perp$ AB.
Theo định lí đường kính và dây, ta có:
HA = HB và HC = HD
=> HA - HC = HB - HD (trừ vế theo vế)
hay AC = BD
➤ Trường hợp điểm D nằm giữa A và B.
Vẽ OH $\perp$ CD. Khi đó OH cũng $\perp$ AB.
Theo định lí đường kính và dây, ta có:
HA = HB và HC = HD
Cộng vế theo vế, ta có:
HA + HC = HB + HD
Hay AC = BD (đpcm)
Như vậy, qua việc giải những bài tập trên, ta đã biết xác định vị trí tương đối của hai đường tròn dựa vào hệ thức giữa đoạn nối tâm và các bán kính, biết cách vẽ hai đường tròn tiếp xúc ngoài, tiếp xúc trong. Đặc biệt là biết vận dụng tính chất hai đường tròn cắt nhau, hai đường tròn tiếp xúc nhau, tính chất đường nối tâm vào tính toán, chứng minh các bài toán.
Mỗi bài toán có nhiều cách giải, đừng quên chia sẻ cách giải hoặc ý kiến đóng góp của bạn ở khung nhận xét bên dưới. Xin cảm ơn!
Giải bài 33 trang 119 sgk hình học 9 tập 1
Trên hình 89, hai đường tròn tiếp xúc nhau tại A. Chứng minh rằng OC // O'D.Bài giải:
 |
| Hình 89. Hai đường tròn tiếp xúc tại A. |
Do đó tam giác OAC cân tại O
Suy ra $\widehat{C}$ = $\widehat{A_1}$
Tương tự ta có tam giác O'AD cân tại O'
Nên $\widehat{A_2}$ = $\widehat{D}$
Mà $\widehat{A_1}$ = $\widehat{A_2}$ (hai góc đối đỉnh)
Do đó $\widehat{C}$ = $\widehat{D}$
Suy ra OC // O'D (hai góc so le trong bằng nhau)
Ngoài việc "cặm cụi" chứng minh, ta nên để ý một chút là trong quá trình chứng minh ta đã sử dụng tính chất khi hai đường tròn tiếp xúc nhau tại A thì A nằm trên đường nối tâm.
Giải bài 34 trang 119 sgk hình học 9 tập 1
Cho hai đường tròn (O ; 20cm) và (O' ; 15cm) cắt nhau tại A và B. Tính đoạn nối tâm OO', biết rằng AB = 24cm. (Xét hai trường hợp: O và O' nằm khác phía đối với AB; O và O' nằm cùng phía đối với AB).Bài giải:
 |
| Hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại A và B. |
Theo tính chất hai đường nối tâm, ta có:
OO' $\perp$ AB và IA = IB = $\frac{AB}{2}$ = 12 cm
Áp dụng định lí Pi-ta-go trong tam giác AIO vuông tại I, ta có:
$OA^2$ = $OI^2$ + $IA^2$
=> $OI^2$ = $OA^2$ - $IA^2$ = $20^2$ - $12^2$ = 400 - 144 = 256
=> OI = $\sqrt{256}$ = 16 cm
Áp dụng định lí Pi-ta-go trong tam giác AIO' vuông tại I, ta có:
$O'A^2$ = $O'I^2$ + $IA^2$
=> $O'I^2$ = $O'A^2$ - $IA^2$ = $15^2$ - $12^2$ = 225 - 144 = 81
=> O'I = $\sqrt{81}$ = 9 cm
➤ Nếu O và O' nằm khác phía đối với AB thì:
OO' = OI + IO' = 16 + 9 = 25 cm
➤ Nếu O và O' nằm cùng phía đối với AB thì:
OO' = OI - O'I = 16 - 9 = 7 cm.
Giải bài 35 trang 122 sgk hình học 9 tập 1
Điền vào các ô trống trong bảng, biết rằng hai đường tròn (O ; R) và (O' ; r) có OO' = d, R > r.Bài giải:
Ta sẽ điền như sau:
Vị trí tương đối của hai đường tròn
|
Số điểm chung
|
Hệ thức giữa d, R, r
|
(O
; R) đựng (O’ ; r)
|
0
|
d
< R - r
|
Ở
ngoài nhau
|
0
|
d
> R + r
|
Tiếp
xúc ngoài
|
1
|
d
= R + r
|
Tiếp
xúc trong
|
1
|
d
= R - r
|
Cắt
nhau
|
2
|
R
– r < d < R + r
|
Giải bài 36 trang 123 sgk hình học 9 tập 1
Cho đường tròn tâm O bán kính OA và đường tròn (O') đường kính OA.a) Hãy xác định vị trí tương đối của hai đường tròn.
b) Dây AD của đường tròn lớn cắt đường tròn nhỏ ở C. Chứng minh rằng AC = CD.
Bài giải:
a) Ta có O' là trung điểm của OA (vì OA là đường kính của đường tròn O')
Nên O' nằm giữa A và O
Suy ra AO' + O'O = AO
=> OO' = AO - AO' hay OO' = R - r
Vậy hai đường tròn (O) và (O') tiếp xúc trong.
 |
| Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn. |
➤ Cách 1:
Xét tam giác ACO có:
AO' = OO' = O'C = r (O')
Tam giác ACO có trung tuyến CO' = $\frac{AO}{2}$
Nên tam giác ACO vuông tại C => OC $\perp$ AD
Theo định lí đường kính và dây suy ra AC = CD.
➤ Cách 2: Chứng minh OC $\perp$ AD xong, ta lập luận:
Tam giác cân AOD có đường cao OC xuất phát từ đỉnh O nên đồng thời là đường trung tuyến.
Do đó AC = CD.
➤ Cách 3:
Ta có $\widehat{C_1}$ = $\widehat{A}$ (tam giác AO'C cân tại O')
Mà $\widehat{A}$ = $\widehat{D}$ (tam giác AOD cân tại O)
Do đó $\widehat{C_1}$ = $\widehat{D}$
Suy ra O'C // OD (hai góc đồng vị bằng nhau)
Xét tam giác AOD có:
O'A = O'O.
O'C //OD
Do đó O'C là đường trung bình của tam giác AOD.
Suy ra AC = CD. (đpcm)
Giải bài 37 trang 123 sgk hình học 9 tập 1
Cho hai đường tròn đồng tâm O. Dây AB của đường tròn lớn cắt đường tròn nhỏ ở C và D. Chứng minh rằng AC = BD.Bài giải:
 |
| Hai đường tròn đồng tâm. |
Vẽ OH $\perp$ CD. Khi đó OH cũng $\perp$ AB.
Theo định lí đường kính và dây, ta có:
HA = HB và HC = HD
=> HA - HC = HB - HD (trừ vế theo vế)
hay AC = BD
➤ Trường hợp điểm D nằm giữa A và B.
Vẽ OH $\perp$ CD. Khi đó OH cũng $\perp$ AB.
Theo định lí đường kính và dây, ta có:
HA = HB và HC = HD
Cộng vế theo vế, ta có:
HA + HC = HB + HD
Hay AC = BD (đpcm)
Như vậy, qua việc giải những bài tập trên, ta đã biết xác định vị trí tương đối của hai đường tròn dựa vào hệ thức giữa đoạn nối tâm và các bán kính, biết cách vẽ hai đường tròn tiếp xúc ngoài, tiếp xúc trong. Đặc biệt là biết vận dụng tính chất hai đường tròn cắt nhau, hai đường tròn tiếp xúc nhau, tính chất đường nối tâm vào tính toán, chứng minh các bài toán.
Mỗi bài toán có nhiều cách giải, đừng quên chia sẻ cách giải hoặc ý kiến đóng góp của bạn ở khung nhận xét bên dưới. Xin cảm ơn!
EmoticonEmoticon