[Toán 8] Chứng minh AFCK là hình thoi.
Ngày 13/12/2016, bạn có nickname Đăng độc đáo gửi bài tập toán 8:
Cho tam giác ABC vuông tại A có AB < AC. Gọi D, E lần lượt là trung điểm các cạnh BC và AC. Trên tia đối của tia DE lấy điểm F sao cho D là trung điểm cạnh EF.
a) Cho BC = 20cm, AC = 16cm. Tính AB, DE?
b) Chứng minh BFCE là hình bình hành.
c) Chứng minh BFEA là hình chữ nhật
d) Trên tia đối của tia EF lấy điểm K sao cho E là trung điểm của FK. Chứng minh AFCK là hình thoi.
e) Vẽ đường cao AH của tam giác ABC. Gọi M là trung điểm HC. Chứng minh FM $\perp$ AM.
Sau đây là gợi ý trả lời cho bạn:
Có thể ngay lúc này đây, nên gửi một lời cảm ơn đến cô giáo của bạn bởi các kiến thức về Hình bình hành, Hình chữ nhật, Hình thoi mà cô đã dạy chính là công cụ quan trọng giúp bạn giải quyết bài toán này một cách nhẹ nhàng!
a) Tính AB:
Áp dụng định lí Pi-ta-go trong tam giác ABC vuông tại A, ta có:
$BC^2$ = $AB^2$ + $AC^2$
=> $AB^2$ = $BC^2$ - $AC^2$ = $20^2$ - $16^2$ = 400 - 256 = 144
=> AB = $\sqrt{144}$ = 12
Vậy AB = 12cm
Tính DE:
Ta có DE là đường trung bình của tam giác ABC (E, D lần lượt là trung điểm của BC, AC)
=> DE = $\frac{1}{2}$ AB (định lí đường trung bình của tam giác)
<=> DE = $\frac{12}{2}$ = 6
Vậy DE = 6cm.
b) Ta có:
D là trung điểm của BC (gt)
D là trung điểm của EF (gt)
Tứ giác BFCE có hai đường chéo BC và EF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên BFCE là hình bình hành. (đpcm)
c) Ta có:
ED // AB (ED là đường trung bình của tam giác ABC)
=> EF // AB (1) (F thuộc tia đối của tia DE)
Mặt khác ta có:
EC // FB (BFCE là hình bình hành cmt)
Nên EA // FB (2)
Từ (1) và (2) suy ra tứ giác BFEA là hình bình hành.
Mà $\widehat{A}$ = $90^0$ (gt)
Nên BFEA là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết)
d) Ta có:
E là trung điểm của AC và FK (gt)
Nên tứ giác AFCK là hình bình hành (1) (hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)
Mặt khác ta có:
FK // AB (vì ED // AB)
Mà AB $\perp$ AC
Suy ra FK $\perp$ AC (2)
Từ (1) và (2) suy ra AFCK là hình thoi. (đpcm)
e) Ta có AH $\perp$ HC (AH là đường cao của tam giác ABC)
Mà EM // AH (EM là đường trung bình của tam giác AHC)
Suy ra EM $\perp$ HC. Nghĩa là tam giác EMB vuông tại M.
Gọi N là giao điểm hai đường chéo hình chữ nhật BFEA.
Tam giác EMB vuông tại M có:
EN = NB (BFEA là hình chữ nhật)
=> MN = $\frac{1}{2}$EB (trung tuyến ứng với cạnh huyền)
Mặt khác EB = AF (hai đường chéo của hình chữ nhật BFEA)
=> MN = $\frac{1}{2}$AF
Suy ra tam giác AMF vuông tại M (Theo định lí "nếu một tam giác có đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh ấy thì tam giác đó là tam giác vuông")
Vậy FM $\perp$ AM (đpcm)
Mỗi bài toán có nhiều cách giải, đừng quên chia sẻ cách giải hoặc ý kiến đóng góp của bạn ở khung nhận xét bên dưới. Xin cảm ơn!
Cho tam giác ABC vuông tại A có AB < AC. Gọi D, E lần lượt là trung điểm các cạnh BC và AC. Trên tia đối của tia DE lấy điểm F sao cho D là trung điểm cạnh EF.
a) Cho BC = 20cm, AC = 16cm. Tính AB, DE?
b) Chứng minh BFCE là hình bình hành.
c) Chứng minh BFEA là hình chữ nhật
d) Trên tia đối của tia EF lấy điểm K sao cho E là trung điểm của FK. Chứng minh AFCK là hình thoi.
e) Vẽ đường cao AH của tam giác ABC. Gọi M là trung điểm HC. Chứng minh FM $\perp$ AM.
Sau đây là gợi ý trả lời cho bạn:
a) Tính AB:
Áp dụng định lí Pi-ta-go trong tam giác ABC vuông tại A, ta có:
$BC^2$ = $AB^2$ + $AC^2$
=> $AB^2$ = $BC^2$ - $AC^2$ = $20^2$ - $16^2$ = 400 - 256 = 144
=> AB = $\sqrt{144}$ = 12
Vậy AB = 12cm
Tính DE:
Ta có DE là đường trung bình của tam giác ABC (E, D lần lượt là trung điểm của BC, AC)
=> DE = $\frac{1}{2}$ AB (định lí đường trung bình của tam giác)
<=> DE = $\frac{12}{2}$ = 6
Vậy DE = 6cm.
b) Ta có:
D là trung điểm của BC (gt)
D là trung điểm của EF (gt)
Tứ giác BFCE có hai đường chéo BC và EF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên BFCE là hình bình hành. (đpcm)
 |
| Chứng minh AFCK là hình thoi. |
c) Ta có:
ED // AB (ED là đường trung bình của tam giác ABC)
=> EF // AB (1) (F thuộc tia đối của tia DE)
Mặt khác ta có:
EC // FB (BFCE là hình bình hành cmt)
Nên EA // FB (2)
Từ (1) và (2) suy ra tứ giác BFEA là hình bình hành.
Mà $\widehat{A}$ = $90^0$ (gt)
Nên BFEA là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết)
d) Ta có:
E là trung điểm của AC và FK (gt)
Nên tứ giác AFCK là hình bình hành (1) (hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)
Mặt khác ta có:
FK // AB (vì ED // AB)
Mà AB $\perp$ AC
Suy ra FK $\perp$ AC (2)
Từ (1) và (2) suy ra AFCK là hình thoi. (đpcm)
e) Ta có AH $\perp$ HC (AH là đường cao của tam giác ABC)
Mà EM // AH (EM là đường trung bình của tam giác AHC)
Suy ra EM $\perp$ HC. Nghĩa là tam giác EMB vuông tại M.
Gọi N là giao điểm hai đường chéo hình chữ nhật BFEA.
Tam giác EMB vuông tại M có:
EN = NB (BFEA là hình chữ nhật)
=> MN = $\frac{1}{2}$EB (trung tuyến ứng với cạnh huyền)
Mặt khác EB = AF (hai đường chéo của hình chữ nhật BFEA)
=> MN = $\frac{1}{2}$AF
Suy ra tam giác AMF vuông tại M (Theo định lí "nếu một tam giác có đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh ấy thì tam giác đó là tam giác vuông")
Vậy FM $\perp$ AM (đpcm)
Mỗi bài toán có nhiều cách giải, đừng quên chia sẻ cách giải hoặc ý kiến đóng góp của bạn ở khung nhận xét bên dưới. Xin cảm ơn!
EmoticonEmoticon