Tổng ba góc của một tam giác.
Chương I hình học 7 đã khép lại, trước mắt ta là chương II với những kiến thức mới lạ đang chờ ta khám phá. Một chút bí mật được hé lộ là ta sẽ được tìm hiểu những điều thú vị "xoay quanh" tam giác. Nhưng thế nào là tam giác nhỉ! Một tam giác thì bao gồm ba đoạn thẳng, nối với nhau ở điểm cuối cùng của đoạn thẳng và bao gồm cả điểm cuối cùng đó, dĩ nhiên, ba điểm đó phải là ba điểm phân biệt. Chẳng phải ở lớp 6 ta đã được học như thế sao! Giờ ta sẽ bắt đầu hành trình khám phá tam giác với bài đầu tiên tổng ba góc của một tam giác.
Trước hết, ta sẽ thực hành đo và kiểm tra tổng ba góc của một tam giác. Ở trên lớp, các bạn hãy chú ý quan sát từng động tác của cô giáo và làm theo một cách chính xác nhé!
$\widehat{A}$ + $\widehat{B}$ + $\widehat{C}$ = $180^0$
$\widehat{G}$ + $\widehat{H}$ + $\widehat{K}$ = $180^0$
Sau đó cô giáo hướng dẫn thực hành cắt ghép ba góc của một tam giác. Vừa học vừa chơi, rất thú vị. Càng thú vị hơn khi với cách cắt ghép này cũng cho ta kết quả là $180^0$.
Như vậy bằng thực hành đo, gấp hình, ta có chung một nhận xét tổng ba góc của một tam giác bằng $180^0$.
GT: $\Delta$ ABC
KL: $\widehat{A}$ + $\widehat{B}$ + $\widehat{C}$ = $180^0$
Chứng minh:
Qua A, vẽ đường thẳng xy song song với BC, ta có:
$\widehat{A_1}$ = $\widehat{B}$ (1) (hai góc so le trong)
$\widehat{A_2}$ = $\widehat{C}$ (2) (hai góc so le trong)
Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{BAC}$ + $\widehat{B}$ + $\widehat{C}$ = $\widehat{BAC}$ + $\widehat{A_1}$ + $\widehat{A_2}$ = $180^0$
Lưu ý: Để cho gọn, ta gọi tổng số đo hai góc là tổng hai góc, tổng số đo ba góc là tổng ba góc. Tương tự như thế đối với hiệu hai góc.
Quan sát hình vẽ trên, áp dụng định lí tổng ba góc của tam giác, ta dễ dàng tính được các góc:
x = $43^0$, y = $34^0$, z = $103^0$. Khi đó:
- Tam giác ABC có ba góc đều nhọn, người ta nói ABC là tam giác nhọn
- Tam giác EDF có một góc vuông, người ta nói tam giác EDF là tam giác vuông
- Tam giác PQR có một góc tù, người ta nói tam giác PQR là tam giác tù.
Như vậy với một tam giác, có thể đó là tam giác nhọn, tam giác tù, hoặc tam giác vuông. Sau đây, ta sẽ tìm hiểu về tam giác vuông.
Ta đi đến định nghĩa tam giác vuông:
➤ Tương tự, thử vẽ tam giác vuông MHK và cho biết các cạnh góc vuông, cạnh huyền?
Giả sử $\widehat{M}$ = $90^0$. Khi đó MH, MK là hai cạnh góc vuông, HK là cạnh huyền.
Theo đinh lí tổng ba góc của tam giác, ta có:
$\widehat{M}$ + $\widehat{H}$ + $\widehat{K}$ = $180^0$
mà $\widehat{M}$ = $90^0$ (gt)
=> $\widehat{H}$ + $\widehat{K}$ = $90^0$
Từ kết quả trên, ta rút ra:
- Trong tam giác vuông hai góc nhọn có tổng số đo bằng $90^0$
- Hai góc có tổng số đo bằng $90^0$ là hai góc phụ nhau
Ta có định lí:
Ta có định nghĩa góc ngoài của tam giác:
Tiếp tục vẽ góc ngoài $\widehat{ABy}$ tại đỉnh B và góc ngoài $\widehat{CAz}$ tại đỉnh A của tam giác ABC.
Như vậy, với tam giác ABC như hình vẽ trên, ta có:
- $\widehat{ACx}$, $\widehat{ABy}$, $\widehat{CAz}$ là các góc ngoài.
- $\widehat{A}$, $\widehat{B}$, $\widehat{C}$ là các góc trong.
Trước hết, ta sẽ thực hành đo và kiểm tra tổng ba góc của một tam giác. Ở trên lớp, các bạn hãy chú ý quan sát từng động tác của cô giáo và làm theo một cách chính xác nhé!
Kiểm tra và thực hành đo tổng ba góc của tam giác.
Quan sát cô giáo vẽ hai tam giác ABC và GHK. Dùng thước đo góc, đo ba góc của mỗi tam giác. Dễ dàng nhận thấy:$\widehat{A}$ + $\widehat{B}$ + $\widehat{C}$ = $180^0$
$\widehat{G}$ + $\widehat{H}$ + $\widehat{K}$ = $180^0$
Sau đó cô giáo hướng dẫn thực hành cắt ghép ba góc của một tam giác. Vừa học vừa chơi, rất thú vị. Càng thú vị hơn khi với cách cắt ghép này cũng cho ta kết quả là $180^0$.
Như vậy bằng thực hành đo, gấp hình, ta có chung một nhận xét tổng ba góc của một tam giác bằng $180^0$.
Tổng ba góc của tam giác.
Với những nhận định qua thực hành, ta có định lí về tổng ba góc của tam giác, được phát biểu như sau:Tổng ba góc của một tam giác bằng $180^0$Để chứng minh định lí trên, ta vẽ tam giác ABC và ghi GT, KL
KL: $\widehat{A}$ + $\widehat{B}$ + $\widehat{C}$ = $180^0$
 |
| Chứng minh tổng ba góc một tam giác. |
Qua A, vẽ đường thẳng xy song song với BC, ta có:
$\widehat{A_1}$ = $\widehat{B}$ (1) (hai góc so le trong)
$\widehat{A_2}$ = $\widehat{C}$ (2) (hai góc so le trong)
Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{BAC}$ + $\widehat{B}$ + $\widehat{C}$ = $\widehat{BAC}$ + $\widehat{A_1}$ + $\widehat{A_2}$ = $180^0$
Lưu ý: Để cho gọn, ta gọi tổng số đo hai góc là tổng hai góc, tổng số đo ba góc là tổng ba góc. Tương tự như thế đối với hiệu hai góc.
 |
| Tam giác nhọn, tam giác vuông, tam giác tù. |
x = $43^0$, y = $34^0$, z = $103^0$. Khi đó:
- Tam giác ABC có ba góc đều nhọn, người ta nói ABC là tam giác nhọn
- Tam giác EDF có một góc vuông, người ta nói tam giác EDF là tam giác vuông
- Tam giác PQR có một góc tù, người ta nói tam giác PQR là tam giác tù.
Như vậy với một tam giác, có thể đó là tam giác nhọn, tam giác tù, hoặc tam giác vuông. Sau đây, ta sẽ tìm hiểu về tam giác vuông.
Áp dụng vào tam giác vuông
Tam giác ABC có $\widehat{A}$ = $90^0$, ta nói tam giác ABC vuông tại A. AB, AC là hai cạnh góc vuông, đối diện với góc vuông là cạnh BC, còn gọi là cạnh huyền. |
| Tam giác ABC vuông tại A. |
Tam giác vuông là tam giác có một góc vuông.Lưu ý: Góc vuông được kí hiệu □
➤ Tương tự, thử vẽ tam giác vuông MHK và cho biết các cạnh góc vuông, cạnh huyền?
Giả sử $\widehat{M}$ = $90^0$. Khi đó MH, MK là hai cạnh góc vuông, HK là cạnh huyền.
Theo đinh lí tổng ba góc của tam giác, ta có:
$\widehat{M}$ + $\widehat{H}$ + $\widehat{K}$ = $180^0$
mà $\widehat{M}$ = $90^0$ (gt)
=> $\widehat{H}$ + $\widehat{K}$ = $90^0$
Từ kết quả trên, ta rút ra:
- Trong tam giác vuông hai góc nhọn có tổng số đo bằng $90^0$
- Hai góc có tổng số đo bằng $90^0$ là hai góc phụ nhau
Ta có định lí:
Trong một tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau.
Góc ngoài của tam giác
Góc $\widehat{ACx}$ như hình vẽ gọi là góc ngoài tại đỉnh C của tam giác ABC. Góc $\widehat{ACx}$ kề bù với $\widehat{C}$ của tam giác ABC.Ta có định nghĩa góc ngoài của tam giác:
Góc ngoài của tam giác là góc kề bù với một góc của tam giác ấy.
 |
| $\widehat{ACx}$ là góc ngoài của tam giác ABC. |
Như vậy, với tam giác ABC như hình vẽ trên, ta có:
- $\widehat{ACx}$, $\widehat{ABy}$, $\widehat{CAz}$ là các góc ngoài.
- $\widehat{A}$, $\widehat{B}$, $\widehat{C}$ là các góc trong.
➤ Thử so sánh $\widehat{ACx}$ với $\widehat{A}$ + $\widehat{B}$?
Ta có:
$\widehat{A}$ + $\widehat{B}$ + $\widehat{C}$ = $180^0$ (định lí tổng ba góc của tam giác)
$\widehat{ACx}$ + $\widehat{C}$ = $180^0$ (hai góc kề bù)
Suy ra $\widehat{ACx}$ = $\widehat{A}$ + $\widehat{B}$.
Ta có định lí về góc ngoài của tam giác như sau:
➤ So sánh $\widehat{ACx}$ với $\widehat{A}$ và $\widehat{ACx}$ với $\widehat{B}$?
Theo định lí về tính chất góc ngoài của tam giác ta có:
$\widehat{ACx}$ = $\widehat{A}$ + $\widehat{B}$
mà $\widehat{B}$ > 0
Nên $\widehat{ACx}$ > $\widehat{A}$
Tương tự $\widehat{ACx}$ > $\widehat{B}$
Nhận xét: Góc ngoài của tam giác lớn hơn mỗi góc trong không kề với nó.
Với nhận xét trên, ta dễ dàng "phát hiện" ra $\widehat{ABy}$ lớn hơn những góc nào của tam giác ABC.
Bài học thì hơi dài, nhưng các bạn chỉ cần nắm được các kiến thức:
➥Tổng ba góc của một tam giác bằng $180^0$.
➥Tam giác vuông là tam giác có một góc vuông.
➥Trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau
➥Góc ngoài của một tam giác là góc kề bù với một góc của tam giác ấy.
➥Mỗi góc ngoài của một tam giác bằng tổng của hai góc trong không kề với nó.
➥Góc ngoài của tam giác lớn hơn mỗi góc trong không kề với nó.
Đó là hành trang cần thiết để ta chinh phục mọi bài tập sgk cũng như bất kỳ bài tập nào mà cô giáo giao cho.
Mỗi bài toán có nhiều cách giải, đừng quên chia sẻ cách giải hoặc ý kiến đóng góp của bạn ở khung nhận xét bên dưới. Xin cảm ơn!
Ta có:
$\widehat{A}$ + $\widehat{B}$ + $\widehat{C}$ = $180^0$ (định lí tổng ba góc của tam giác)
$\widehat{ACx}$ + $\widehat{C}$ = $180^0$ (hai góc kề bù)
Suy ra $\widehat{ACx}$ = $\widehat{A}$ + $\widehat{B}$.
Ta có định lí về góc ngoài của tam giác như sau:
Mỗi góc ngoài của một tam giác bằng tổng của hai góc trong không kề với nó.
➤ So sánh $\widehat{ACx}$ với $\widehat{A}$ và $\widehat{ACx}$ với $\widehat{B}$?
Theo định lí về tính chất góc ngoài của tam giác ta có:
$\widehat{ACx}$ = $\widehat{A}$ + $\widehat{B}$
mà $\widehat{B}$ > 0
Nên $\widehat{ACx}$ > $\widehat{A}$
Tương tự $\widehat{ACx}$ > $\widehat{B}$
Nhận xét: Góc ngoài của tam giác lớn hơn mỗi góc trong không kề với nó.
Với nhận xét trên, ta dễ dàng "phát hiện" ra $\widehat{ABy}$ lớn hơn những góc nào của tam giác ABC.
Bài học thì hơi dài, nhưng các bạn chỉ cần nắm được các kiến thức:
➥Tổng ba góc của một tam giác bằng $180^0$.
➥Tam giác vuông là tam giác có một góc vuông.
➥Trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau
➥Góc ngoài của một tam giác là góc kề bù với một góc của tam giác ấy.
➥Mỗi góc ngoài của một tam giác bằng tổng của hai góc trong không kề với nó.
➥Góc ngoài của tam giác lớn hơn mỗi góc trong không kề với nó.
Đó là hành trang cần thiết để ta chinh phục mọi bài tập sgk cũng như bất kỳ bài tập nào mà cô giáo giao cho.
EmoticonEmoticon