Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung.
Mối quan hệ giữa góc và đường tròn đã được thể hiện qua góc ở tâm, góc nội tiếp. Mối quan hệ đó còn được thể hiện qua góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung.
Dây AB có đầu mút A cố định, đầu mút B di động. AB có thể di chuyển tới tiếp tuyến của đường tròn O. Khi đó $\widehat{CAB}$ là góc nội tiếp của đường tròn (O). Nếu dây AB di chuyển đến vị trí tiếp tuyến của đường tròn (O) tại tiếp điểm A thì liệu góc CAB có còn là góc nội tiếp nữa hay không? Một câu hỏi hay!
Dễ dàng nhận thấy góc CAB lúc này là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung, và vẫn là một góc nội tiếp. Đó là trường hợp đặc biệt của góc nội tiếp khi một cát tuyến trở thành tiếp tuyến.
Quan sát hình 22, ta thấy:
- $\widehat{BAx}$ và $\widehat{BAy}$ là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung.
- $\widehat{BAx}$ có cung bị chắn là cung nhỏ AB
- $\widehat{BAy}$ có cung bị chắn là cung lớn AB.
Như vậy, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung phải có:
- đỉnh thuộc đường tròn
- một cạnh là một tia tiếp tuyến
- cạnh kia chứa một dây cung của đường tròn.
?1. Các góc ở hình 23, 24, 25, 26 không phải là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung vì:
- Góc ở hình 23 không có cạnh nào là tia tiếp tuyến của đường tròn.
- Góc ở hình 24 không có cạnh nào là dây cung của đường tròn.
- Góc ở hình 25 không có cạnh nào là tia tiếp tuyến của đường tròn.
- Góc ở hình 26 đỉnh của góc không nằm trên đường tròn.
?2. Cho biết số đo của cung bị chắn
Hình 1:
Ta có Ax là tia tiếp tuyến của đường tròn (O)
=> $\widehat{OAx}$ = $90^0$
mà $\widehat{BAx}$ = $30^0$ (gt)
Nên $\widehat{BAO}$ = $60^0$ (1)
Ta lại có OA = OB = R
=> Tam giác AOB cân tại O. (2)
Từ (1) và (2) suy ra tam giác AOB đều.
Do đó $\widehat{AOB}$ = $60^0$
Suy ra sđ ⁀AB = $60^0$
Hình 2:
Ta có Ax là tia tiếp tuyến của đường tròn (O)
=> $\widehat{OAx}$ = $90^0$
mà $\widehat{BAx}$ = $90^0$ (gt)
Do đó A, O, B thẳng hàng.
Suy ra AB là đường kính. Nên sđ ⁀AB = $180^0$.
Hình 3:
Kéo dài tia AO cắt đường tròn (O) tại A'.
Khi đó $\widehat{A'Ax}$ = $90^0$ và sđ ⁀AA' = $180^0$.
Suy ra $\widehat{A'AB}$ = $30^0$
=> sđ ⁀A'B = $60^0$ (định lí về góc nội tiếp)
Vậy sđ ⁀$AB_{lớn}$ = sđ ⁀AA' + sđ ⁀A'B
= $180^0$ + $60^0$ = $240^0$.
Tương tự như góc nội tiếp, với góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cũng có 3 trường hợp:
- Tâm đường tròn nằm trên cạnh chứa dây cung.
- Tâm đường tròn nằm bên ngoài góc.
- Tâm đường tròn nằm bên trong góc.
a) Tâm O nằm trên cạnh chứa dây cung AB.
Ta có $\left.\begin{matrix} \widehat{BAx} = 90^0\\ sđ ⁀AB = 180^0\end{matrix}\right\}$ => $\widehat{BAx}$ = $\frac{1}{2}$sđ ⁀AB
b) Tâm O nằm bên ngoài $\widehat{BAx}$
Kẻ OH $\perp$ AB tại H.
Tam giác AOB cân tại O nên OH vừa là đường cao vừa là phân giác.
Do đó $\widehat{O_1}$ = $\frac{1}{2}$$\widehat{AOB}$
Ta có $\widehat{O_1}$ = $\widehat{BAx}$ (vì cùng phụ với góc OAB)
Hay $\frac{1}{2}$$\widehat{AOB}$ = $\widehat{BAx}$
mà $\widehat{AOB}$ = sđ ⁀AB
Suy ra $\widehat{BAx}$ = $\frac{1}{2}$sđ ⁀AB.
c) Tâm O nằm bên trong $\widehat{BAx}$
Kẻ đường kính AC
Ta có $\widehat{CAx}$ = $\frac{1}{2}$sđ ⁀AC (theo trường hợp 1)
$\widehat{CAB}$ = $\frac{1}{2}$sđ ⁀BC ($\widehat{CAB}$ là góc nội tiếp chắn cung BC)
mà $\widehat{BAx}$ = $\widehat{BAC}$ + $\widehat{CAx}$.
=> $\widehat{BAx}$ = $\frac{1}{2}$sđ ⁀AC + $\frac{1}{2}$sđ ⁀BC.
=> $\widehat{BAx}$ = $\frac{1}{2}$sđ ⁀$AB_{lớn}$
?3. So sánh số đo của $\widehat{BAx}$, $\widehat{ACB}$ với số đo của cung AmB.
Ta có $\widehat{BAx}$ = $\frac{1}{2}$sđ ⁀AmB (định lí góc giữa tia tiếp tuyến và dây cung)
$\widehat{ACB}$ = $\frac{1}{2}$sđ ⁀AmB (định lí góc nội tiếp)
=> $\widehat{BAx}$ = $\widehat{ACB}$.
Mỗi bài toán có nhiều cách giải, đừng quên chia sẻ cách giải hoặc ý kiến đóng góp của bạn ở khung nhận xét bên dưới. Xin cảm ơn!
Khái niệm góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung.
Ta có hình vẽ như sau: |
| AB di chuyển tới tiếp tuyến. |
Dễ dàng nhận thấy góc CAB lúc này là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung, và vẫn là một góc nội tiếp. Đó là trường hợp đặc biệt của góc nội tiếp khi một cát tuyến trở thành tiếp tuyến.
Quan sát hình 22, ta thấy:
 |
| Hình 22. |
- $\widehat{BAx}$ có cung bị chắn là cung nhỏ AB
- $\widehat{BAy}$ có cung bị chắn là cung lớn AB.
Như vậy, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung phải có:
- đỉnh thuộc đường tròn
- một cạnh là một tia tiếp tuyến
- cạnh kia chứa một dây cung của đường tròn.
?1. Các góc ở hình 23, 24, 25, 26 không phải là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung vì:
- Góc ở hình 23 không có cạnh nào là tia tiếp tuyến của đường tròn.
- Góc ở hình 24 không có cạnh nào là dây cung của đường tròn.
- Góc ở hình 25 không có cạnh nào là tia tiếp tuyến của đường tròn.
- Góc ở hình 26 đỉnh của góc không nằm trên đường tròn.
?2. Cho biết số đo của cung bị chắn
Hình 1:
 |
| Số đo cung bị chắn? |
=> $\widehat{OAx}$ = $90^0$
mà $\widehat{BAx}$ = $30^0$ (gt)
Nên $\widehat{BAO}$ = $60^0$ (1)
Ta lại có OA = OB = R
=> Tam giác AOB cân tại O. (2)
Từ (1) và (2) suy ra tam giác AOB đều.
Do đó $\widehat{AOB}$ = $60^0$
Suy ra sđ ⁀AB = $60^0$
Hình 2:
 |
| Hinh 2. |
=> $\widehat{OAx}$ = $90^0$
mà $\widehat{BAx}$ = $90^0$ (gt)
Do đó A, O, B thẳng hàng.
Suy ra AB là đường kính. Nên sđ ⁀AB = $180^0$.
Hình 3:
 |
| Hình 3. |
Khi đó $\widehat{A'Ax}$ = $90^0$ và sđ ⁀AA' = $180^0$.
Suy ra $\widehat{A'AB}$ = $30^0$
=> sđ ⁀A'B = $60^0$ (định lí về góc nội tiếp)
Vậy sđ ⁀$AB_{lớn}$ = sđ ⁀AA' + sđ ⁀A'B
= $180^0$ + $60^0$ = $240^0$.
Định lí góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung.
Từ kết quả của bài tập trên, ta có một định lí:Số đo của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo của cung bị chắn.Chứng minh:
Tương tự như góc nội tiếp, với góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cũng có 3 trường hợp:
- Tâm đường tròn nằm trên cạnh chứa dây cung.
- Tâm đường tròn nằm bên ngoài góc.
- Tâm đường tròn nằm bên trong góc.
a) Tâm O nằm trên cạnh chứa dây cung AB.
 |
| Tâm A nằm trên cạnh chứa dây AB. |
b) Tâm O nằm bên ngoài $\widehat{BAx}$
 |
| Tâm O nằm bên ngoài góc BAx. |
Tam giác AOB cân tại O nên OH vừa là đường cao vừa là phân giác.
Do đó $\widehat{O_1}$ = $\frac{1}{2}$$\widehat{AOB}$
Ta có $\widehat{O_1}$ = $\widehat{BAx}$ (vì cùng phụ với góc OAB)
Hay $\frac{1}{2}$$\widehat{AOB}$ = $\widehat{BAx}$
mà $\widehat{AOB}$ = sđ ⁀AB
Suy ra $\widehat{BAx}$ = $\frac{1}{2}$sđ ⁀AB.
c) Tâm O nằm bên trong $\widehat{BAx}$
 |
| Tâm O nằm trong góc BAx. |
Ta có $\widehat{CAx}$ = $\frac{1}{2}$sđ ⁀AC (theo trường hợp 1)
$\widehat{CAB}$ = $\frac{1}{2}$sđ ⁀BC ($\widehat{CAB}$ là góc nội tiếp chắn cung BC)
mà $\widehat{BAx}$ = $\widehat{BAC}$ + $\widehat{CAx}$.
=> $\widehat{BAx}$ = $\frac{1}{2}$sđ ⁀AC + $\frac{1}{2}$sđ ⁀BC.
=> $\widehat{BAx}$ = $\frac{1}{2}$sđ ⁀$AB_{lớn}$
?3. So sánh số đo của $\widehat{BAx}$, $\widehat{ACB}$ với số đo của cung AmB.
 |
| Hệ quả. |
$\widehat{ACB}$ = $\frac{1}{2}$sđ ⁀AmB (định lí góc nội tiếp)
=> $\widehat{BAx}$ = $\widehat{ACB}$.
Hệ quả.
Qua kết quả của bài tập ?3, ta có hệ quả:Trong một đường tròn, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau.
Mỗi bài toán có nhiều cách giải, đừng quên chia sẻ cách giải hoặc ý kiến đóng góp của bạn ở khung nhận xét bên dưới. Xin cảm ơn!
EmoticonEmoticon