[Toán 7] Chứng minh ba điểm D, E, F thẳng hàng.
Ngày 1/4/2017 bạn An Khánh gửi bài toán:
Bài 4. Tam giác ABC có $\widehat{A}$ = $120^0$. Các phân giác AD và CE gặp nhau tại O. Đường thẳng chứa tia phân giác ngoài tại đỉnh B của tam giác ABC cắt đường thẳng AC tại F. Chứng minh rằng:
a) BO $\perp$ BF.
b) $\widehat{BDF}$ = $\widehat{ADF}$
c) Ba điểm D, E, F thẳng hàng.
Bài 5. Cho góc nhọn xOy, vẽ tia phân giác Oz. Trên Oz lấy điểm M, qua M vẽ đường thẳng d $\perp$ Oz cắt Ox tại A và cắt Oy tại B.
a) Chứng minh MA = MB
b) Trên đoạn OA, OB lần lượt lấy hai điểm E, F sao cho AE = BF. Chứng minh MO là tia phân giác của góc EMF.
Trả lời cho bạn:
Bài 4:
a) Chứng minh BO $\perp$ BF.
Ta có O là giao điểm các phân giác trong AD và CE của tam giác ABC. Nên BO cũng là phân giác trong của góc B.
Theo đề BF là phân giác ngoài của tam giác ABC tại đỉnh B.
Suy ra BO $\perp$ BF (đpcm).
b) Chứng minh $\widehat{BDF}$ = $\widehat{ADF}$
Vẽ tia Ax là tia đối của tia AD.
Ta có $\widehat{BAC}$ = $120^0$ (gt). Suy ra:
$\widehat{CAD}$ = $\widehat{DAB}$ = $60^0$ (vì AD là phân giác góc BAC)
$\widehat{BAF}$ = $60^0$ (kề bù với góc BAC) (1)
$\widehat{FAx}$ = $60^0$ (đối đỉnh với góc CAD) (2)
Từ (1) và (2) suy ra AF là phân giác góc EAx, tức là phân giác góc ngoài tại đỉnh A của tam giác DAB.
Theo giả thiết BF là phân giác góc ngoài tại đỉnh B.
Khi đó F chính là giao điểm hai đường phân giác ngoài tại đỉnh A và B.
Do đó F thuộc đường phân giác trong của góc ADB (theo tính chất trong một tam giác, hai đường phân giác ngoài của hai góc và phân giác trong của góc thứ ba đồng quy).
Tức là DF là phân giác góc ADB.
Suy ra $\widehat{BDF}$ = $\widehat{ADF}$.
c) Chứng minh ba điểm D, E, F thẳng hàng.
Ta có $\widehat{DAE}$ = $\widehat{EAF}$ = $60^0$ (cmt)
Suy ra AE là phân giác góc ngoài CAD của tam giác ACD.
Mà CE là phân giác trong của góc ACD.
Do đó E cũng thuộc đường phân giác góc ngoài ADB của tam giác ACD.
Tức là E thuộc DF.
Suy ra ba điểm D, E, F thẳng hàng (đpcm).
Mỗi bài toán có nhiều cách giải, đừng quên chia sẻ cách giải hoặc ý kiến đóng góp của bạn ở khung nhận xét bên dưới. Xin cảm ơn!
Bài 4. Tam giác ABC có $\widehat{A}$ = $120^0$. Các phân giác AD và CE gặp nhau tại O. Đường thẳng chứa tia phân giác ngoài tại đỉnh B của tam giác ABC cắt đường thẳng AC tại F. Chứng minh rằng:
a) BO $\perp$ BF.
b) $\widehat{BDF}$ = $\widehat{ADF}$
c) Ba điểm D, E, F thẳng hàng.
Bài 5. Cho góc nhọn xOy, vẽ tia phân giác Oz. Trên Oz lấy điểm M, qua M vẽ đường thẳng d $\perp$ Oz cắt Ox tại A và cắt Oy tại B.
a) Chứng minh MA = MB
b) Trên đoạn OA, OB lần lượt lấy hai điểm E, F sao cho AE = BF. Chứng minh MO là tia phân giác của góc EMF.
Trả lời cho bạn:
Bài 4:
a) Chứng minh BO $\perp$ BF.
Ta có O là giao điểm các phân giác trong AD và CE của tam giác ABC. Nên BO cũng là phân giác trong của góc B.
Theo đề BF là phân giác ngoài của tam giác ABC tại đỉnh B.
Suy ra BO $\perp$ BF (đpcm).
 |
| Các tia phân giác AD, CE cắt nhau tại O. |
Vẽ tia Ax là tia đối của tia AD.
Ta có $\widehat{BAC}$ = $120^0$ (gt). Suy ra:
$\widehat{CAD}$ = $\widehat{DAB}$ = $60^0$ (vì AD là phân giác góc BAC)
$\widehat{BAF}$ = $60^0$ (kề bù với góc BAC) (1)
$\widehat{FAx}$ = $60^0$ (đối đỉnh với góc CAD) (2)
Từ (1) và (2) suy ra AF là phân giác góc EAx, tức là phân giác góc ngoài tại đỉnh A của tam giác DAB.
Theo giả thiết BF là phân giác góc ngoài tại đỉnh B.
Khi đó F chính là giao điểm hai đường phân giác ngoài tại đỉnh A và B.
Do đó F thuộc đường phân giác trong của góc ADB (theo tính chất trong một tam giác, hai đường phân giác ngoài của hai góc và phân giác trong của góc thứ ba đồng quy).
Tức là DF là phân giác góc ADB.
Suy ra $\widehat{BDF}$ = $\widehat{ADF}$.
c) Chứng minh ba điểm D, E, F thẳng hàng.
Ta có $\widehat{DAE}$ = $\widehat{EAF}$ = $60^0$ (cmt)
Suy ra AE là phân giác góc ngoài CAD của tam giác ACD.
Mà CE là phân giác trong của góc ACD.
Do đó E cũng thuộc đường phân giác góc ngoài ADB của tam giác ACD.
Tức là E thuộc DF.
Suy ra ba điểm D, E, F thẳng hàng (đpcm).
EmoticonEmoticon