Giải bài tập diện tích hình thang.
Khi học về diện tích hình thang, ta không chỉ dừng lại ở việc nhớ công thức tính diện tích hình thang, hình bình hành để ứng phó khi giải bài tập, mà ta còn phải không ngừng đặt ra những câu hỏi. Chẳng hạn, khi nối trung điểm của hai đáy hình thang, tại sao ta lại được hai hình thang có diện tích bằng nhau hoặc vì sao hình chữ nhật ABCD và hình bình hành ABEF lại có cùng diện tích. Và việc đi tìm câu trả lời cho những thắc mắc đó đã nâng hiểu biết của chúng ta về những điều cô giáo dạy về diện tích hình thang, hình bình hành lên ... một tầm cao mới.
Bài giải:
Theo công thức tính diện tích hình chữ nhật ta có:
$S_{ABCD}$ = AB.AD
=> AD = $\frac{S_{ABCD}}{AB}$ = $\frac{828}{23}$ = 36 (m)
Diện tích hình thang được tính theo công thức:
$S_{ABED}$ = $\frac{1}{2}$(AB + ED).AD = $\frac{1}{2}$(23 + 31).36 = 972.
Vậy diện tích hình thang ABED bằng 972 $m^2$.
Bài giải:
➤ Ta có hình chữ nhật ABCD và hình bình hành ABEF có chung cạnh AB và chiều cao BC của hình bình hành ABEF chính là cạnh còn lại của hình chữ nhật. Nên hình chữ nhật ABCD và hình thang ABEF có cùng diện tích.
➤ Cách vẽ hình chữ nhật có cùng diện tích với hình bình hành cho trước:
- Vẽ hình bình hành ABEF.
- Kéo dài cạnh EF về phía F.
- Từ điểm A vẽ đường thẳng vuông góc với EF cắt EF nối dài tại D.
- Tương tự, từ B vẽ đường thẳng vuông góc với EF cắt EF tại C.
- ABCD là hình chữ nhật cần vẽ.
Bài giải:
Những hình có cùng diện tích với hình bình hành FIGE là:
- Các hình bình hành IERG, IRUG
- Các hình tam giác IFR, GEU.
Thật vậy, xét các hình bình hành FIGE, IERG, IRUG và các tam giác IFR, GEU có:
- Đáy của tam giác gấp đôi đáy của hình bình hành.
- Chiều cao của các hình bình hành và các tam giác bằng nhau (vì IG // FU)
Áp dụng công thức tính diện tích tam giác và diện tích hình bình hành, ta được:
$S_{FIGE}$ = $S_{IERG}$ = $S_{IRUG}$ = $S_{\Delta IFR}$ = $S_{\Delta GEU}$.
Bài giải:
Khi nối trung điểm E, F của hai đáy AB, CD của hình thang ABCD, ta được:
- Hai hình thang AEFD và BEFC có cùng chiều cao h.
- Có các đáy bằng nhau AE = EB, DF = FC.
Ta có $S_{AEFD}$ = $\frac{1}{2}$(AE + DF).h
$S_{BEFC}$ = $\frac{1}{2}$(EB + FC).h
Do đó $S_{AEFD}$ = $S_{BEFC}$.
Vậy khi nối trung điểm của hai đáy hình thang, ta được hai hình thang có diện tích bằng nhau.
Bài giải:
Ta có EF = $\frac{1}{2}$(AB + CD) (vì EF là đường trung bình của hình thang ABCD)
Khi đó $S_{ABCD}$ = $\frac{1}{2}$(AB + CD).GK
Hay $S_{ABCD}$ = EF. GK (vì EF = $\frac{1}{2}$(AB + CD) cmt)
Hay $S_{ABCD}$ = EF. GK = GH.GK (1) (vì EF = GH)
Mặt khác ta có $S_{GHIK}$ = GH.GK (2) (diện tích hình chữ nhật)
Từ (1) và (2) suy ra $S_{ABCD}$ = $S_{GHIK}$.
➤ Một cách chứng minh khác về công thức tính diện tích hình thang:
- Vẽ hình chữ nhật GHIK sao cho một cạnh bên bằng chiều cao, một cạnh bằng đường trung bình của hình thang.
- Ta dễ dàng chứng minh đươc $\Delta$ DEK = $\Delta$ AEG và $\Delta$ CFI = $\Delta$ BFH theo trường hợp cạnh góc vuông và góc nhọn.
Suy ra $S_{\Delta DEK}$ = $S_{\Delta AEG}$, $S_{\Delta CFI}$ = $S_{\Delta BFH}$.
- Ta có: $S_{ABCD}$ = $S_{\Delta DEK}$ + $S_{EABF}$ + $S_{EFIK}$ + $\Delta$ CFI.
<=> $S_{ABCD}$ = $S_{\Delta AEG}$ + $S_{EABF}$ + $S_{EFIK}$ + $\Delta$ BFH
<=> $S_{ABCD}$ = $S_{GHIK}$ = EF.GK
Mà EF = $\frac{1}{2}$(AB + CD) (cmt)
Nên $S_{ABCD}$ = $\frac{1}{2}$(AB + CD).GK
Như vậy với bài tập này ta được tiếp cận với công thức tính diện tích hình thang đã học ở bài trước thông qua một phương pháp khác đó là diện tích hình thang bằng tích đường trung bình với đường cao của nó.
Bài giải:
Các hình có cùng diện tích:
- Hình 3, hình 7 có diện tích 9 ô vuông.
- Hình 1, hình 5, hình 8 có diện tích 8 ô vuông.
- Hình 2, hình 6, hình 9 có diện tích 6 ô vuông.
Mỗi bài toán có nhiều cách giải, đừng quên chia sẻ cách giải hoặc ý kiến đóng góp của bạn ở khung nhận xét bên dưới. Xin cảm ơn!
Giải bài 26 trang 125 sgk hình học 8 tập 1.
Tính diện tích mảnh đất hình thang ABED theo các độ dài đã cho trên hình 140 và biết diện tích hình chữ nhật ABCD là 828 $m^2$.Bài giải:
Theo công thức tính diện tích hình chữ nhật ta có:
$S_{ABCD}$ = AB.AD
=> AD = $\frac{S_{ABCD}}{AB}$ = $\frac{828}{23}$ = 36 (m)
Diện tích hình thang được tính theo công thức:
$S_{ABED}$ = $\frac{1}{2}$(AB + ED).AD = $\frac{1}{2}$(23 + 31).36 = 972.
Vậy diện tích hình thang ABED bằng 972 $m^2$.
Giải bài 27 trang 125 sgk hình học 8 tập 1.
Vì sao hình chữ nhật ABCD và hình bình hành ABEF (h.141) lại có cùng diện tích? Suy ra cách vẽ một hình chữ nhật có cùng diện tích với một hình bình hành cho trước.Bài giải:
➤ Ta có hình chữ nhật ABCD và hình bình hành ABEF có chung cạnh AB và chiều cao BC của hình bình hành ABEF chính là cạnh còn lại của hình chữ nhật. Nên hình chữ nhật ABCD và hình thang ABEF có cùng diện tích.
- Vẽ hình bình hành ABEF.
- Kéo dài cạnh EF về phía F.
- Từ điểm A vẽ đường thẳng vuông góc với EF cắt EF nối dài tại D.
- Tương tự, từ B vẽ đường thẳng vuông góc với EF cắt EF tại C.
- ABCD là hình chữ nhật cần vẽ.
Giải bài 28 trang 126 sgk hình học 8 tập 1.
Xem hình 142 (IG // FU). Hãy đọc tên một số hình có cùng diện tích với hình bình hành FIGE.Bài giải:
Những hình có cùng diện tích với hình bình hành FIGE là:
- Các hình bình hành IERG, IRUG
- Các hình tam giác IFR, GEU.
- Đáy của tam giác gấp đôi đáy của hình bình hành.
- Chiều cao của các hình bình hành và các tam giác bằng nhau (vì IG // FU)
Áp dụng công thức tính diện tích tam giác và diện tích hình bình hành, ta được:
$S_{FIGE}$ = $S_{IERG}$ = $S_{IRUG}$ = $S_{\Delta IFR}$ = $S_{\Delta GEU}$.
Giải bài 29 trang 126 sgk hình học 8 tập 1.
Khi nối trung điểm của hai đáy hình thang, tại sao ta lại được hai hình thang có diện tích bằng nhau?Bài giải:
Khi nối trung điểm E, F của hai đáy AB, CD của hình thang ABCD, ta được:
- Hai hình thang AEFD và BEFC có cùng chiều cao h.
- Có các đáy bằng nhau AE = EB, DF = FC.
Ta có $S_{AEFD}$ = $\frac{1}{2}$(AE + DF).h
$S_{BEFC}$ = $\frac{1}{2}$(EB + FC).h
Do đó $S_{AEFD}$ = $S_{BEFC}$.
Vậy khi nối trung điểm của hai đáy hình thang, ta được hai hình thang có diện tích bằng nhau.
Giải bài 30 trang 126 sgk hình học 8 tập 1.
Trên hình 143 có hình thang ABCD với đường trung bình EF và hình chữ nhật GHIK. Hãy so sánh diện tích hai hình này, từ đó suy ra một cách chứng minh khác về công thức tính diện tích hình thang.Bài giải:
Ta có EF = $\frac{1}{2}$(AB + CD) (vì EF là đường trung bình của hình thang ABCD)
Khi đó $S_{ABCD}$ = $\frac{1}{2}$(AB + CD).GK
Hay $S_{ABCD}$ = EF. GK (vì EF = $\frac{1}{2}$(AB + CD) cmt)
Hay $S_{ABCD}$ = EF. GK = GH.GK (1) (vì EF = GH)
Mặt khác ta có $S_{GHIK}$ = GH.GK (2) (diện tích hình chữ nhật)
Từ (1) và (2) suy ra $S_{ABCD}$ = $S_{GHIK}$.
- Vẽ hình chữ nhật GHIK sao cho một cạnh bên bằng chiều cao, một cạnh bằng đường trung bình của hình thang.
- Ta dễ dàng chứng minh đươc $\Delta$ DEK = $\Delta$ AEG và $\Delta$ CFI = $\Delta$ BFH theo trường hợp cạnh góc vuông và góc nhọn.
Suy ra $S_{\Delta DEK}$ = $S_{\Delta AEG}$, $S_{\Delta CFI}$ = $S_{\Delta BFH}$.
- Ta có: $S_{ABCD}$ = $S_{\Delta DEK}$ + $S_{EABF}$ + $S_{EFIK}$ + $\Delta$ CFI.
<=> $S_{ABCD}$ = $S_{\Delta AEG}$ + $S_{EABF}$ + $S_{EFIK}$ + $\Delta$ BFH
<=> $S_{ABCD}$ = $S_{GHIK}$ = EF.GK
Mà EF = $\frac{1}{2}$(AB + CD) (cmt)
Nên $S_{ABCD}$ = $\frac{1}{2}$(AB + CD).GK
Như vậy với bài tập này ta được tiếp cận với công thức tính diện tích hình thang đã học ở bài trước thông qua một phương pháp khác đó là diện tích hình thang bằng tích đường trung bình với đường cao của nó.
Giải bài 31 trang 126 sgk hình học 8 tập 1.
Xem hình 144. Hãy chỉ ra các hình có cùng diện tích (lấy ô vuông làm đơn vị diện tích)Bài giải:
Các hình có cùng diện tích:
- Hình 3, hình 7 có diện tích 9 ô vuông.
- Hình 1, hình 5, hình 8 có diện tích 8 ô vuông.
- Hình 2, hình 6, hình 9 có diện tích 6 ô vuông.
Mỗi bài toán có nhiều cách giải, đừng quên chia sẻ cách giải hoặc ý kiến đóng góp của bạn ở khung nhận xét bên dưới. Xin cảm ơn!
EmoticonEmoticon