Diện tích hình thang.
Giữa hình thang, hình bình hành, hình chữ nhật có một mối quan hệ đặc biệt. Một câu hỏi được đặt ra là liệu công thức tính diện tích hình thang, hình bình hành có mối liên hệ gì đó với công thức tính diện tích hình chữ nhật ta vừa được học không. Câu trả lời sẽ có trong bài học hôm nay.
Giờ đây, với một sự hiểu biết đầy đủ về hình thang, ta không chỉ tiếp nhận công thức tính diện tích hình thang một cách thụ động, mà sẽ đi chứng minh công thức đó.
Có thể chứng minh theo nhiều cách:
➤ Cách 1:
Theo tính chất 2 về diện tích đa giác thì:
$S_{ABCD}$ = $S_{\Delta ABC}$ + $S_{\Delta ADC}$
Ta có $S_{\Delta ADC}$ = $\frac{DC.AH}{2}$.
$S_{\Delta ABC}$ = $\frac{AB.CK}{2}$ = $\frac{AB.AH}{2}$ (vì CK = AH)
=> $S_{ABCD}$ = $\frac{AB.AH}{2}$ + $\frac{DC.AH}{2}$ = $\frac{(AB + DC).AH}{2}$
Vậy $S_{ABCD}$ = $\frac{(AB + DC).AH}{2}$
➤ Cách 2:
Gọi M là trung điểm của BC. Tia AM cắt tia DC tại E.
Xét hai tam giác ABM và ECM có:
$\widehat{M_1}$ = $\widehat{M_2}$ (hai góc đối đỉnh)
BM = MC (M là trung điểm BC)
$\widehat{ABM}$ = $\widehat{ECM}$ (hai góc so le trong)
Vậy $\Delta$ ABM = $\Delta$ ECM (g-c-g)
Suy ra AB = EC
Và $S_{\Delta ABM}$ = $S_{\Delta ECM}$.
Do đó: $S_{ABCD}$ = $S_{\Delta ABM}$ + $S_{AMCD}$.
= $S_{\Delta ECM}$ + $S_{AMCD}$.
= $S_{\Delta ADE}$
= $\frac{DE.AH}{2}$.
Mà DE = DC + CE = DC + AB (vì CE = AB cmt)
Vậy $S_{ABCD}$ = $\frac{(AB + DC).AH}{2}$.
➤ Cách 3:
Ta có hình vẽ sau:
EF là đường trung bình của hình thang ABCD.
MPQK là hình chữ nhật
$\Delta$ AEM = $\Delta$ DEK (cạnh huyền-góc nhọn)
$\Delta$ BFP = $\Delta$ CFQ (cạnh huyền-góc nhọn)
=> $S_{ABCD}$ = $S_{MPQK}$
= MP.MK
= EF.AH
= $\frac{(AB + DC).AH}{2}$
Vậy $S_{ABCD}$ = $\frac{(AB + DC).AH}{2}$.
Cơ sở của cách chứng minh trên là vận dụng tính chất 1 và 2 diện tích đa giác và công thức tính diện tích tam giác, công thức tính diện tích hình chữ nhật.
Theo đó $S_{\text {hình bình hành}}$ = $\frac{(a + a).h}{2}$ = $\frac{2a.h}{2}$ = a.h
Giải:
Tam giác ADH có $\widehat{H}$ = $90^0$, $\widehat{D}$ = $30^0$, AD = 4cm.
Nên AH = $\frac{AD}{2}$ (trong tam giác vuông cạnh đối diện với góc $30^0$ bằng nửa cạnh huyền)
AH = $\frac{4}{2}$ = 2cm.
Theo công thức tính diện tích hình bình hành, ta được:
$S_{ABCD}$ = AB.AH = 3,6.2 = 7,2
Vậy $S_{ABCD}$ = 7,2 ($cm^2$)
Mỗi bài toán có nhiều cách giải, đừng quên chia sẻ cách giải hoặc ý kiến đóng góp của bạn ở khung nhận xét bên dưới. Xin cảm ơn!
Công thức tính diện tích hình thang.
Ở tiểu học ta đã được làm quen với công thức tính diện tích hình thang mà chưa hiểu thế nào là hình thang.Giờ đây, với một sự hiểu biết đầy đủ về hình thang, ta không chỉ tiếp nhận công thức tính diện tích hình thang một cách thụ động, mà sẽ đi chứng minh công thức đó.
Diện tích hình thang bằng nửa tích của tổng hai đáy với chiều cao. S = $\frac{1}{2}$(a + b).hTa sẽ dựa vào công thức tính diện tích tam giác, hình chữ nhật để chứng minh công thức tính diện tích hình thang.
Có thể chứng minh theo nhiều cách:
➤ Cách 1:
 |
| Chứng minh cách 1. |
$S_{ABCD}$ = $S_{\Delta ABC}$ + $S_{\Delta ADC}$
Ta có $S_{\Delta ADC}$ = $\frac{DC.AH}{2}$.
$S_{\Delta ABC}$ = $\frac{AB.CK}{2}$ = $\frac{AB.AH}{2}$ (vì CK = AH)
=> $S_{ABCD}$ = $\frac{AB.AH}{2}$ + $\frac{DC.AH}{2}$ = $\frac{(AB + DC).AH}{2}$
Vậy $S_{ABCD}$ = $\frac{(AB + DC).AH}{2}$
➤ Cách 2:
 |
| Cách chứng minh 2. |
Xét hai tam giác ABM và ECM có:
$\widehat{M_1}$ = $\widehat{M_2}$ (hai góc đối đỉnh)
BM = MC (M là trung điểm BC)
$\widehat{ABM}$ = $\widehat{ECM}$ (hai góc so le trong)
Vậy $\Delta$ ABM = $\Delta$ ECM (g-c-g)
Suy ra AB = EC
Và $S_{\Delta ABM}$ = $S_{\Delta ECM}$.
Do đó: $S_{ABCD}$ = $S_{\Delta ABM}$ + $S_{AMCD}$.
= $S_{\Delta ECM}$ + $S_{AMCD}$.
= $S_{\Delta ADE}$
= $\frac{DE.AH}{2}$.
Mà DE = DC + CE = DC + AB (vì CE = AB cmt)
Vậy $S_{ABCD}$ = $\frac{(AB + DC).AH}{2}$.
➤ Cách 3:
Ta có hình vẽ sau:
 |
| Cách chứng minh 3. |
MPQK là hình chữ nhật
$\Delta$ AEM = $\Delta$ DEK (cạnh huyền-góc nhọn)
$\Delta$ BFP = $\Delta$ CFQ (cạnh huyền-góc nhọn)
=> $S_{ABCD}$ = $S_{MPQK}$
= MP.MK
= EF.AH
= $\frac{(AB + DC).AH}{2}$
Vậy $S_{ABCD}$ = $\frac{(AB + DC).AH}{2}$.
Cơ sở của cách chứng minh trên là vận dụng tính chất 1 và 2 diện tích đa giác và công thức tính diện tích tam giác, công thức tính diện tích hình chữ nhật.
Công thức tính diện tích hình bình hành.
Hình bình hành là một dạng đặc biệt của hình thang. Thật vậy, hình bình hành là hình thang có hai đáy bằng nhau. Nên ta sẽ dựa vào công thức tính diện tích hình thang đã chứng minh ở trên để tính diện tích hình bình hành.Theo đó $S_{\text {hình bình hành}}$ = $\frac{(a + a).h}{2}$ = $\frac{2a.h}{2}$ = a.h
Diện tích hình bình hành bằng tích của một cạnh với chiều cao ứng với cạnh đó.Áp dụng: Tính diện tích một hình bình hành biết độ dài một cạnh là 3,6cm, độ dài cạnh kề với nó là 4cm và tạo với đáy một góc có số đo là $30^0$.
S = a.h
Giải:
 |
| Tính diện tích hình bình hành. |
Tam giác ADH có $\widehat{H}$ = $90^0$, $\widehat{D}$ = $30^0$, AD = 4cm.
Nên AH = $\frac{AD}{2}$ (trong tam giác vuông cạnh đối diện với góc $30^0$ bằng nửa cạnh huyền)
AH = $\frac{4}{2}$ = 2cm.
Theo công thức tính diện tích hình bình hành, ta được:
$S_{ABCD}$ = AB.AH = 3,6.2 = 7,2
Vậy $S_{ABCD}$ = 7,2 ($cm^2$)
Mỗi bài toán có nhiều cách giải, đừng quên chia sẻ cách giải hoặc ý kiến đóng góp của bạn ở khung nhận xét bên dưới. Xin cảm ơn!
EmoticonEmoticon