[Toán 8] Chứng minh chu vi tam giác DEF nhỏ hơn chu vi tam giác ABC.

Ngày 19/4/2017 bạn có nickname Joonghye Song gửi bài toán:

Cho tam giác ABC. Vẽ AH vuông góc BC (H thuộc BC). Gọi D,E,F lần lượt là các điểm nằm giữa A và H, nằm giữa B và H, nằm giữa C và H. Chứng minh rằng: chu vi tam giác DEF nhỏ hơn chu vi tam giác ABC. Với vị trí nào của các điểm D,E,F thì chu vi tam giác DEF bằng 1/2 chu vi tam giác ABC.

Trả lời cho bạn:

a) Chứng minh rằng chu vi tam giác DEF nhỏ hơn chu vi tam giác ABC.
Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông:
- DEH, ta có $DE^2$ = $DH^2$ + $EH^2$
- ABH, ta có $AB^2$ = $AH^2$ + $BH^2$
Mà $DH^2$ + $EH^2$ < $AH^2$ + $BH^2$
=> $DE^2$ < $AB^2$
<=> DE < AB (1)
Tương tự, ta chứng minh được: DF < AC (2)
và EF < BC (3)
Cộng (1), (2), (2) vế theo vế ta được:
DE + DF + EF < AB + AC + BC
Hay $C_{\Delta DEF}$ < $C_{\Delta ABC}$
Vậy chu vi tam giác DEF nhỏ hơn chu vi tam giác ABC.

AH vuông góc với BC

b) Với vị trí nào của các điểm D,E,F thì chu vi tam giác DEF bằng 1/2 chu vi tam giác ABC.
 $C_{\Delta DEF}$ = $\frac{1}{2}$$C_{\Delta ABC}$ khi:
DE + DF + EF = $\frac{1}{2}$(AB + AC + BC)
<=> DE + DF + EF = $\frac{1}{2}$AB + $\frac{1}{2}$AC + $\frac{1}{2}$BC
<=> $\begin{cases}DE = \frac{1}{2}AB\\DF = \frac{1}{2}AC \\EF = \frac{1}{2}BC \end{cases}$ <=> D, E, F lần lượt là trung điểm của AB, AC, BC.
Vậy khi D, E, F lần lượt là trung điểm của AB, AC, BC thì chu vi tam giác DEF bằng 1/2 chu vi tam giác ABC.

Mỗi bài toán có nhiều cách giải, đừng quên chia sẻ cách giải hoặc ý kiến đóng góp của bạn ở khung nhận xét bên dưới. Xin cảm ơn!

CÙNG CHIA SẺ ĐỂ KIẾN THỨC ĐƯỢC LAN TỎA!

Be a Fan

Bài học liên quan.

• [Toán 9] Chứng minh BC = AB.cosB + AC.cosCNgày 4/10/2018 bạn Anh Tran gửi bài toán: Cho tam giác ABC nhọn a) Chứng minh $\frac{BC}{sinA}$ = $
• [Toán 8] Chứng minh AECB là hình thang vuông.Ngày 13/9/2018 bạn Dang Dang gửi bài toán:Cho tam giác ABC vuông cân tại A, BC bằng 2cm. Ở phía ngo
• Hai đường thẳng Mz và Ny có song song với nhau hay không.Ngày 2/8/2018 bạn có nickname Toikhongbiet yêu cầu bài tập bổ sung 4.3 trong bài hai đường thẳng so
• [Toán 9] Giải các phương trình dạng (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = m$x^2$Ngày 5/8/2018 bạn Nguyễn Hân gửi bài toán giải các phương trình sau: 1) (2x + 1)(2x + 3)(2x + 5)(2x
• [Toán 8] Tính chiều cao của ống khói. Ngày 1/4/2018 bạn Tam Nguyen yêu cầu bài toán: Một ống khói của nhà máy có bóng trên mặt đất là 36
• [Toán 8] Chứng minh tứ giác BB''CC'' là hình thang.Ngày 11/9/2018 bạn có nickname Đepchat gửi bài toán: Cho tam giác ABC. Trên tia AC lấy điểm B'&