[Toán 8] Chứng minh chu vi tam giác DEF nhỏ hơn chu vi tam giác ABC.
Ngày 19/4/2017 bạn có nickname Joonghye Song gửi bài toán:
Cho tam giác ABC. Vẽ AH vuông góc BC (H thuộc BC). Gọi D,E,F lần lượt là các điểm nằm giữa A và H, nằm giữa B và H, nằm giữa C và H. Chứng minh rằng: chu vi tam giác DEF nhỏ hơn chu vi tam giác ABC. Với vị trí nào của các điểm D,E,F thì chu vi tam giác DEF bằng 1/2 chu vi tam giác ABC.Trả lời cho bạn:
a) Chứng minh rằng chu vi tam giác DEF nhỏ hơn chu vi tam giác ABC.
Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông:
- DEH, ta có $DE^2$ = $DH^2$ + $EH^2$
- ABH, ta có $AB^2$ = $AH^2$ + $BH^2$
Mà $DH^2$ + $EH^2$ < $AH^2$ + $BH^2$
=> $DE^2$ < $AB^2$
<=> DE < AB (1)
Tương tự, ta chứng minh được: DF < AC (2)
và EF < BC (3)
Cộng (1), (2), (2) vế theo vế ta được:
DE + DF + EF < AB + AC + BC
Hay $C_{\Delta DEF}$ < $C_{\Delta ABC}$
Vậy chu vi tam giác DEF nhỏ hơn chu vi tam giác ABC.
 |
| AH vuông góc với BC |
$C_{\Delta DEF}$ = $\frac{1}{2}$$C_{\Delta ABC}$ khi:
DE + DF + EF = $\frac{1}{2}$(AB + AC + BC)
<=> DE + DF + EF = $\frac{1}{2}$AB + $\frac{1}{2}$AC + $\frac{1}{2}$BC
<=> $\begin{cases}DE = \frac{1}{2}AB\\DF = \frac{1}{2}AC \\EF = \frac{1}{2}BC \end{cases}$ <=> D, E, F lần lượt là trung điểm của AB, AC, BC.
Vậy khi D, E, F lần lượt là trung điểm của AB, AC, BC thì chu vi tam giác DEF bằng 1/2 chu vi tam giác ABC.
EmoticonEmoticon