Vị trí tương đối của hai đường tròn.

Khi xét vị trí tương đối của đường thẳng với đường tròn, ta căn cứ vào số điểm chung của hai đường đó. Với hai đường tròn cũng vậy, căn cứ vào số điểm chung của chúng để xác định vị trí tương đối của hai đường tròn. Theo đó, sẽ có ba vị trí như vậy cho ta tìm hiểu.

Ba vị trí tương đối của hai đường tròn.

Ta đã biết hai đường tròn không trùng nhau là hai đường tròn phân biệt. Theo định lí sự xác định đường tròn, qua ba điểm không thẳng hàng, ta vẽ được một và chỉ một đường tròn. Do đó nếu đường tròn có từ ba điểm chung trở lên thì chúng trùng nhau. Nên hai đường tròn phân biệt không thể có quá hai điểm chung.
Như vậy, với hai đường tròn phân biệt, chỉ có thể:
- Có hai điểm chung
- Có một điểm chung duy nhất
- Không có điểm chung.

Hai đường tròn có hai điểm chung:

Hai đường tròn có hai điểm chung được gọi là hai đường tròn cắt nhau.

Hình 85. Hai đường tròn cắt nhau.

Hai điểm chung đó được gọi là hai giao điểm. Đoạn thẳng nối hai điểm đó gọi là dây chung.

Hai đường tròn tiếp xúc nhau:

Hai đường tròn tiếp xúc nhau là hai đường tròn chỉ có một điểm chung.

Điểm chung đó gọi là tiếp điểm.

Hình 86. Hai đường tròn tiếp xúc nhau.

Có hai khả năng tiếp xúc:
- Tiếp xúc ngoài. (h.86a)
- Tiếp xúc trong. (h.86b)

Hai đường tròn không có điểm chung:

Hai đường tròn không giao nhau là hai đường tròn không có điểm chung.

Hình 87. Hai đường tròn không giao nhau.

Có hai trường hợp:
- Ở ngoài nhau (h.87a)
- Đựng nhau (h.8b)

Tính chất đường nối tâm.

Đường thẳng OO' gọi là đường nối tâm, đoạn thẳng OO' gọi là đoạn nối tâm.
Đường nối tâm OO' cắt (O) ở C và D, cắt (O') ở E và F.
Ta có đường kính CD là trục đối xứng của đường tròn (O), đường kính EF là trục đối xứng của đường tròn (O'). Nên đường nối tâm OO' là trục đối xứng của hình gồm cả hai đường tròn đó.

Đường nối tâm.

Người ta chứng minh được định lí sau:

a) Nếu hai đường tròn cắt nhau thì hai giao điểm đối xứng với nhau qua đường nối tâm, tức là đường nối tâm là đường trung trực của dây chung.
b) Nếu hai đường tròn tiếp xúc nhau thì tiếp điểm nằm trên đường nối tâm.

Chứng minh:
a) Ta có:
OA = OB = R (O)
O'A = O'B = R (O')
OO' là đường trung trực của đoạn thẳng AB.
Hoặc OO' là trục đối xứng của hình gồm hai đường tròn.
=> A và B đối xứng với nhau qua OO'
=> OO' là đường trung trực của đoạn AB.
b) Ta có A là điểm chung duy nhất của hai đường tròn nên A phải nằm trên trục đối xứng của hình, tức A đối xứng với chính nó. Vậy A phải nằm trên đường nối tâm.

Hệ thức giữa đoạn nối tâm và các bán kính.

a) Hai đường tròn cắt nhau:

Nếu hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau thì R - r < OO' < R + r

Hình 90. Hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau.

Chứng minh:
Xét tam giác OAO' có:
OA - OA' < OO' < OA + OA' (bất đẳng thức trong tam giác)
hay R - r < OO' < R + r

b) Hai đường tròn tiếp xúc nhau

Nếu hai đường tròn (O) và (O') tiếp xúc ngoài thì OO' = R + r
Nếu hai đường tròn (O) và (O') tiếp xúc trong thì OO' = R - r

Chứng minh:
Nếu hai đường tròn (O) và (O') tiếp xúc ngoài. Khi đó A sẽ nằm giữa O và O'
Suy ra OO' = OA + AO'
Hay OO' = R + r

Hình 91. Hai đường tròn (O) và (O') tiêp xúc ngoài.

Nếu hai đường tròn (O) và (O') tiếp xúc trong. Khi đó O' nằm giữa O và A.
Suy ra OO' + O'A = OA
=> OO' = OA - O'A hay OO' = R - r

Hình 92. Hai đường tròn (O) và (O') tiếp xúc trong.

c) Hai đường tròn không giao nhau:

Nếu hai đường tròn (O) và (O') ở ngoài nhau thì OO' > R + r
Nếu hai đường tròn (O) đựng đường tròn (O') thì OO' < R - r

Hình 93. Hai đường tròn (O) và (O') không giao nhau.

Chứng minh:
Nếu hai đường tròn (O) và (O') ở ngoài nhau:
Ta có OO' = OA + AB + BO'
<=> OO' = R + AB + r
=> OO' > R + r
Nếu hai đường tròn (O) đựng đường tròn (O'):
Ta có OO' = OA - O'B - BA
<=> OO' = R - r - BA
=> OO' < R - r
Đặc biệt khi (O) và (O') đồng tâm thì OO' = 0 (h.94b-sgk).

Tiếp tuyến chung của hai đường tròn.

Tiếp tuyến chung của hai đường tròn là đường thẳng tiếp xúc với cả hai đường tròn đó.

Các đường thẳng $d_1$, $d_2$ là các tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn (O) và (O'). Tiếp tuyến chung ngoài không cắt đoạn nối tâm.

$d_1$, $d_2$ là các tiếp tuyến chung ngoài.

Các đường thẳng $m_1$, $m_2$ là các tiếp tuyến chung trong của hai đường tròn (O) và (O'). Tiếp tuyến chung trong cắt đoạn nối tâm.

$m_1$, $m_2$ là các tiếp tuyến chung trong.

Kết thúc bài học, ta lập tức liên tưởng đến những đồ vật có hình dạng và kết cấu cho ta thấy rõ những vị trí tương đối của hai đường tròn. Có thể kể ra đây như bánh xe, dây cu-roa, hai bánh răng khớp nhau, líp nhiều tầng của xe đạp...
Các bạn tìm thêm nhiều những đồ vật khác nhé!

Mỗi bài toán có nhiều cách giải, đừng quên chia sẻ cách giải hoặc ý kiến đóng góp của bạn ở khung nhận xét bên dưới. Xin cảm ơn!

CÙNG CHIA SẺ ĐỂ KIẾN THỨC ĐƯỢC LAN TỎA!

Be a Fan