[Toán 9] Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức.
Trao đổi với bạn Nguyễn Phương về những bài tập bạn gửi ngày 16/10/2016.
b) x - $\sqrt{x}$ + $\frac{3}{4}$
Bài giải:
Trước khi giải, bạn hãy dành một chút thời gian để xem lại cách tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức đã học hồi lớp 8.
a) Đặt A = x - $\sqrt{x}$ + 21
Điều kiện x $\geq$ 0
Ta có: A = x - 2.$\frac{1}{2}$$\sqrt{x}$ + $\frac{1}{4}$ - $\frac{1}{4}$ + 21 = $(\sqrt{x} - \frac{1}{2})^2$ + $\frac{83}{4}$
Vì $(\sqrt{x} - \frac{1}{2})^2$ $\geq$ 0 với mọi x nên
b) Đặt B = x - $\sqrt{x}$ + $\frac{3}{4}$
Điều kiện x $\geq$ 0
Ta có B = x - 2.$\frac{1}{2}$$\sqrt{x}$ + $\frac{1}{4}$ - $\frac{1}{4}$ + $\frac{3}{4}$ = $(\sqrt{x} - \frac{1}{2})^2$ + $\frac{1}{2}$
Vì $(\sqrt{x} - \frac{1}{2})^2$ $\geq$ 0 với mọi x nên
$(\sqrt{x} - \frac{1}{2})^2$ + $\frac{1}{2}$ $\geq$ $\frac{1}{2}$
Dấu "=" xảy ra khi $\sqrt{x}$ - $\frac{1}{2}$ = 0 <=> $\sqrt{x}$ = $\frac{1}{2}$ <=> x = $\frac{1}{4}$ (thỏa mãn điều kiện)
Vậy minB = $\frac{1}{2}$
b) Tính giá trị của A với x = $\frac{4}{9}$
c) Tìm giá trị của x để $ \left | A \right | $ = $\frac{1}{3}$
Bài giải:
a) Rút gọn:
Điều kiện $\begin{cases}x \geq 0 \\ 1 - x \neq 0 \end{cases}$
<=> $\begin{cases}x \geq 0 \\ x \neq 1 \end{cases}$
A = $\frac{1}{2\sqrt{x} - 2}$ - $\frac{1}{2\sqrt{x} + 2}$ + $\frac{\sqrt{x}}{1 - x}$
= $\frac{2\sqrt{x} + 2}{(2\sqrt{x} - 2)(2\sqrt{x} + 2)}$ - $\frac{2\sqrt{x} - 2}{(2\sqrt{x} - 2)(2\sqrt{x} + 2)}$ + $\frac{\sqrt{x}}{1 - x}$
= $\frac{2\sqrt{x} + 2}{(2\sqrt{x})^2 - 2^2}$ - $\frac{2\sqrt{x} - 2}{(2\sqrt{x})^2 - 2^2}$ + $\frac{\sqrt{x}}{1 - x}$
= $\frac{2\sqrt{x} + 2}{4x - 4}$ - $\frac{2\sqrt{x} - 2}{4x - 4}$ + $\frac{\sqrt{x}}{1 - x}$
= $\frac{2\sqrt{x} + 2}{4(x - 1)}$ - $\frac{2\sqrt{x} - 2}{4(x - 1)}$ - $\frac{\sqrt{x}}{x - 1}$
= $\frac{2\sqrt{x} + 2 - 2\sqrt{x} + 2 - 4\sqrt{x}}{4(x - 1)}$
= $\frac{4(1 - \sqrt{x})}{4(x - 1)}$ = $\frac{1 - \sqrt{x}}{x - 1}$
Vậy A = $\frac{1 - \sqrt{x}}{x - 1}$
b) Thay x = $\frac{4}{9}$ vào A, ta được:
A = $\frac{1 - \sqrt{\frac{4}{9}}}{\frac{4}{9} - 1}$ = $\frac{1 - \frac{2}{3}}{\frac{4}{9} - 1}$ = -$\frac{3}{5}$
c) Tìm giá trị của x để $ \left | A \right | $ = $\frac{1}{3}$, nghĩa là đi giải phương trình $ \left | \frac{1 - \sqrt{x}}{x - 1} \right | $ = $\frac{1}{3}$ (1)
Ta có $ \left | \frac{1 - \sqrt{x}}{x - 1} \right | $ = $\frac{1 - \sqrt{x}}{x - 1}$ khi $\frac{1 - \sqrt{x}}{x - 1}$ $\geq$ 0 <=> x < 1
$ \left | \frac{1 - \sqrt{x}}{x - 1} \right | $ = -$\frac{1 - \sqrt{x}}{x - 1}$ khi $\frac{1 - \sqrt{x}}{x - 1}$ < 0 <=> x > 1
Để giải phương trình (1), ta quy về giải hai phương trình:
# $\frac{1 - \sqrt{x}}{x - 1}$ = $\frac{1}{3}$ với x < 1
<=> 3(1 - $\sqrt{x}$) = x - 1 <=> 3 - 3$\sqrt{x}$ = x - 1 <=> x + 3$\sqrt{x}$ - 4 = 0 (*)
Phương trình (*) có dạng a + b + c = 0 nên có nghiệm $x_1$ = 1, $x_2$ = -4
Nghiệm $x_1$ không thỏa mãn điều kiện nên x = -4 là nghiệm của phương trình (1)
# -$\frac{1 - \sqrt{x}}{x - 1}$ = $\frac{1}{3}$ với x > 1
<=> -3(1 - $\sqrt{x}$) = x - 1 <=> -3 + 3$\sqrt{x}$ = x - 1 <=> x - 3$\sqrt{x}$ + 2 = 0 (**)
Phương trình (**) cũng có dạng a + b + c = 0 nên có nghiệm $x_1$ = 1, $x_2$ = 2
Nghiệm $x_1$ không thỏa mãn điều kiện nên x = 2 là nghiệm của phương trình (1)
Vậy với x = -4 và x = 2 thì $ \left | A \right | $ = $\frac{1}{3}$
Mỗi bài toán có nhiều cách giải, đừng quên chia sẻ cách giải hoặc ý kiến đóng góp của bạn ở khung nhận xét bên dưới. Xin cảm ơn!
Bài 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
a) x - $\sqrt{x}$ + 21b) x - $\sqrt{x}$ + $\frac{3}{4}$
Bài giải:
Trước khi giải, bạn hãy dành một chút thời gian để xem lại cách tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức đã học hồi lớp 8.
a) Đặt A = x - $\sqrt{x}$ + 21
Điều kiện x $\geq$ 0
Ta có: A = x - 2.$\frac{1}{2}$$\sqrt{x}$ + $\frac{1}{4}$ - $\frac{1}{4}$ + 21 = $(\sqrt{x} - \frac{1}{2})^2$ + $\frac{83}{4}$
Vì $(\sqrt{x} - \frac{1}{2})^2$ $\geq$ 0 với mọi x nên
$(\sqrt{x} - \frac{1}{2})^2$ + $\frac{83}{4}$ $\geq$ $\frac{83}{4}$
Dấu "=" xảy ra khi $\sqrt{x}$ - $\frac{1}{2}$ = 0 <=> $\sqrt{x}$ = $\frac{1}{2}$ <=> x = $\frac{1}{4}$ (thỏa mãn điều kiện)
Vậy minA = $\frac{83}{4}$
Vậy minA = $\frac{83}{4}$
b) Đặt B = x - $\sqrt{x}$ + $\frac{3}{4}$
Điều kiện x $\geq$ 0
Ta có B = x - 2.$\frac{1}{2}$$\sqrt{x}$ + $\frac{1}{4}$ - $\frac{1}{4}$ + $\frac{3}{4}$ = $(\sqrt{x} - \frac{1}{2})^2$ + $\frac{1}{2}$
Vì $(\sqrt{x} - \frac{1}{2})^2$ $\geq$ 0 với mọi x nên
$(\sqrt{x} - \frac{1}{2})^2$ + $\frac{1}{2}$ $\geq$ $\frac{1}{2}$
Dấu "=" xảy ra khi $\sqrt{x}$ - $\frac{1}{2}$ = 0 <=> $\sqrt{x}$ = $\frac{1}{2}$ <=> x = $\frac{1}{4}$ (thỏa mãn điều kiện)
Vậy minB = $\frac{1}{2}$
Bài 2. Cho A= $\frac{1}{2\sqrt{x} - 2}$ - $\frac{1}{2\sqrt{x} + 2}$ + $\frac{\sqrt{x}}{1 - x}$
a) Rút gọn biểu thức Ab) Tính giá trị của A với x = $\frac{4}{9}$
c) Tìm giá trị của x để $ \left | A \right | $ = $\frac{1}{3}$
Bài giải:
a) Rút gọn:
Điều kiện $\begin{cases}x \geq 0 \\ 1 - x \neq 0 \end{cases}$
<=> $\begin{cases}x \geq 0 \\ x \neq 1 \end{cases}$
A = $\frac{1}{2\sqrt{x} - 2}$ - $\frac{1}{2\sqrt{x} + 2}$ + $\frac{\sqrt{x}}{1 - x}$
= $\frac{2\sqrt{x} + 2}{(2\sqrt{x} - 2)(2\sqrt{x} + 2)}$ - $\frac{2\sqrt{x} - 2}{(2\sqrt{x} - 2)(2\sqrt{x} + 2)}$ + $\frac{\sqrt{x}}{1 - x}$
= $\frac{2\sqrt{x} + 2}{(2\sqrt{x})^2 - 2^2}$ - $\frac{2\sqrt{x} - 2}{(2\sqrt{x})^2 - 2^2}$ + $\frac{\sqrt{x}}{1 - x}$
= $\frac{2\sqrt{x} + 2}{4x - 4}$ - $\frac{2\sqrt{x} - 2}{4x - 4}$ + $\frac{\sqrt{x}}{1 - x}$
= $\frac{2\sqrt{x} + 2}{4(x - 1)}$ - $\frac{2\sqrt{x} - 2}{4(x - 1)}$ - $\frac{\sqrt{x}}{x - 1}$
= $\frac{2\sqrt{x} + 2 - 2\sqrt{x} + 2 - 4\sqrt{x}}{4(x - 1)}$
= $\frac{4(1 - \sqrt{x})}{4(x - 1)}$ = $\frac{1 - \sqrt{x}}{x - 1}$
Vậy A = $\frac{1 - \sqrt{x}}{x - 1}$
b) Thay x = $\frac{4}{9}$ vào A, ta được:
A = $\frac{1 - \sqrt{\frac{4}{9}}}{\frac{4}{9} - 1}$ = $\frac{1 - \frac{2}{3}}{\frac{4}{9} - 1}$ = -$\frac{3}{5}$
c) Tìm giá trị của x để $ \left | A \right | $ = $\frac{1}{3}$, nghĩa là đi giải phương trình $ \left | \frac{1 - \sqrt{x}}{x - 1} \right | $ = $\frac{1}{3}$ (1)
Ta có $ \left | \frac{1 - \sqrt{x}}{x - 1} \right | $ = $\frac{1 - \sqrt{x}}{x - 1}$ khi $\frac{1 - \sqrt{x}}{x - 1}$ $\geq$ 0 <=> x < 1
$ \left | \frac{1 - \sqrt{x}}{x - 1} \right | $ = -$\frac{1 - \sqrt{x}}{x - 1}$ khi $\frac{1 - \sqrt{x}}{x - 1}$ < 0 <=> x > 1
Để giải phương trình (1), ta quy về giải hai phương trình:
# $\frac{1 - \sqrt{x}}{x - 1}$ = $\frac{1}{3}$ với x < 1
<=> 3(1 - $\sqrt{x}$) = x - 1 <=> 3 - 3$\sqrt{x}$ = x - 1 <=> x + 3$\sqrt{x}$ - 4 = 0 (*)
Phương trình (*) có dạng a + b + c = 0 nên có nghiệm $x_1$ = 1, $x_2$ = -4
Nghiệm $x_1$ không thỏa mãn điều kiện nên x = -4 là nghiệm của phương trình (1)
# -$\frac{1 - \sqrt{x}}{x - 1}$ = $\frac{1}{3}$ với x > 1
<=> -3(1 - $\sqrt{x}$) = x - 1 <=> -3 + 3$\sqrt{x}$ = x - 1 <=> x - 3$\sqrt{x}$ + 2 = 0 (**)
Phương trình (**) cũng có dạng a + b + c = 0 nên có nghiệm $x_1$ = 1, $x_2$ = 2
Nghiệm $x_1$ không thỏa mãn điều kiện nên x = 2 là nghiệm của phương trình (1)
Vậy với x = -4 và x = 2 thì $ \left | A \right | $ = $\frac{1}{3}$
EmoticonEmoticon