[Toán 8] Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3x^2 + 3y^2 + z^2.
Ngày 2/10/2016, bạn Hương Lan yêu cầu hai bài tập. Có nhiều ý kiến với những cách trình bày khác nhau. Sau đây là tổng hợp cách giải được đa số ý kiến tán đồng.
Đặt Q = 3$x^2$ + 3$y^2$ + $z^2$
<=> 2Q = 6$x^2$ + 6$y^2$ + 2$z^2$ = 4$x^2$ + 2$x^2$ + 4$y^2$ + 2$y^2$ + $z^2$ + $z^2$
= (4$x^2$ + $z^2$) + (4$y^2$ + $z^2$) + (2$x^2$ + 2$y^2$)
Áp dụng BĐT Cô si, ta có:
4$x^2$ + $z^2$ $\geq$ 4xz
4$y^2$ + $z^2$ $\geq$ 4yz
2$x^2$ + 2$y^2$ $\geq$ 4xy
Lúc đó : 2Q $\geq$ 4(xz + yz + xy)
<=> 2Q $\geq$4.5 <=> 2Q $\geq$20 <=> Q $\geq$ 10
Q = 10 khi x = 1, y = 1, z = 2
Vậy giá trị nhỏ nhất của Q là 10 khi và chỉ khi x = y = 1, z = 2
Mỗi bài toán có nhiều cách giải, đừng quên chia sẻ cách giải hoặc ý kiến đóng góp của bạn ở khung nhận xét bên dưới. Xin cảm ơn!
Bài 1. Cho x, y, z dương và thỏa mãn xy + yz + xz = 5. Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3$x^2$ + 3$y^2$ + $z^2$.
Gợi ý cho bạn:Đặt Q = 3$x^2$ + 3$y^2$ + $z^2$
<=> 2Q = 6$x^2$ + 6$y^2$ + 2$z^2$ = 4$x^2$ + 2$x^2$ + 4$y^2$ + 2$y^2$ + $z^2$ + $z^2$
= (4$x^2$ + $z^2$) + (4$y^2$ + $z^2$) + (2$x^2$ + 2$y^2$)
Áp dụng BĐT Cô si, ta có:
4$x^2$ + $z^2$ $\geq$ 4xz
4$y^2$ + $z^2$ $\geq$ 4yz
2$x^2$ + 2$y^2$ $\geq$ 4xy
Lúc đó : 2Q $\geq$ 4(xz + yz + xy)
<=> 2Q $\geq$4.5 <=> 2Q $\geq$20 <=> Q $\geq$ 10
Q = 10 khi x = 1, y = 1, z = 2
Vậy giá trị nhỏ nhất của Q là 10 khi và chỉ khi x = y = 1, z = 2
Bài 2. Cho ba số x, y, z thỏa mãn x + y + z = 0 và $x^2$ + $y^2$ + $z^2$ = $a^2$. Tính giá trị của biểu thức $x^4$ + $y^4$ + $z^4$
Với bài tập trên, ta có thể giải như sau:
Ta có x + y + z = 0
=> x = -(y + z)
=> $x^2$ = $(y + z)^2$
=> $x^2$ = $y^2$ + $z^2$ + 2yz
=> $x^2$ - $y^2$ - $z^2$ = 2yz
=> $(x^2 - y^2 - z^2)^2$ = 4$y^2z^2$
=> $x^4$ + $y^4$ + $z^4$ - 2$x^2y^2$ - 2$x^2z^2$ + 2$y^2z^2$ = 4$y^2z^2$
=> $x^4$ + $y^4$ + $z^4$ = 2$x^2y^2$ + 2$x^2z^2$ + 2$y^2z^2$
=> 2($x^4$ + $y^4$ + $z^4$) - ($x^4$ + $y^4$ + $z^4$) = 2$x^2y^2$ + 2$x^2z^2$ + 2$y^2z^2$
=> 2($x^4$ + $y^4$ + $z^4$) = $x^4$ + $y^4$ + $z^4$ + 2$x^2y^2$ + 2$x^2z^2$ + 2$y^2z^2$
Ta có x + y + z = 0
=> x = -(y + z)
=> $x^2$ = $(y + z)^2$
=> $x^2$ = $y^2$ + $z^2$ + 2yz
=> $x^2$ - $y^2$ - $z^2$ = 2yz
=> $(x^2 - y^2 - z^2)^2$ = 4$y^2z^2$
=> $x^4$ + $y^4$ + $z^4$ - 2$x^2y^2$ - 2$x^2z^2$ + 2$y^2z^2$ = 4$y^2z^2$
=> $x^4$ + $y^4$ + $z^4$ = 2$x^2y^2$ + 2$x^2z^2$ + 2$y^2z^2$
=> 2($x^4$ + $y^4$ + $z^4$) - ($x^4$ + $y^4$ + $z^4$) = 2$x^2y^2$ + 2$x^2z^2$ + 2$y^2z^2$
=> 2($x^4$ + $y^4$ + $z^4$) = $x^4$ + $y^4$ + $z^4$ + 2$x^2y^2$ + 2$x^2z^2$ + 2$y^2z^2$
= $(x^2 + y^2 + z^2)^2$ = $2^2$ = 4
Vậy giá trị của biểu thức $x^4$ + $y^4$ + $z^4$ là 4.
Vậy giá trị của biểu thức $x^4$ + $y^4$ + $z^4$ là 4.
EmoticonEmoticon