[Toán 8] Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3x^2 + 3y^2 + z^2.
Ngày 2/10/2016, bạn Hương Lan yêu cầu hai bài tập. Có nhiều ý kiến với những cách trình bày khác nhau. Sau đây là tổng hợp cách giải được đa số ý kiến tán đồng.
Đặt Q = 3x2 + 3y2 + z2
<=> 2Q = 6x2 + 6y2 + 2z2 = 4x2 + 2x2 + 4y2 + 2y2 + z2 + z2
= (4x2 + z2) + (4y2 + z2) + (2x2 + 2y2)
Áp dụng BĐT Cô si, ta có:
4x2 + z2 ≥ 4xz
4y2 + z2 ≥ 4yz
2x2 + 2y2 ≥ 4xy
Lúc đó : 2Q ≥ 4(xz + yz + xy)
<=> 2Q ≥4.5 <=> 2Q ≥20 <=> Q ≥ 10
Q = 10 khi x = 1, y = 1, z = 2
Vậy giá trị nhỏ nhất của Q là 10 khi và chỉ khi x = y = 1, z = 2
Mỗi bài toán có nhiều cách giải, đừng quên chia sẻ cách giải hoặc ý kiến đóng góp của bạn ở khung nhận xét bên dưới. Xin cảm ơn!
Bài 1. Cho x, y, z dương và thỏa mãn xy + yz + xz = 5. Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3x2 + 3y2 + z2.
Gợi ý cho bạn:Đặt Q = 3x2 + 3y2 + z2
<=> 2Q = 6x2 + 6y2 + 2z2 = 4x2 + 2x2 + 4y2 + 2y2 + z2 + z2
= (4x2 + z2) + (4y2 + z2) + (2x2 + 2y2)
Áp dụng BĐT Cô si, ta có:
4x2 + z2 ≥ 4xz
4y2 + z2 ≥ 4yz
2x2 + 2y2 ≥ 4xy
Lúc đó : 2Q ≥ 4(xz + yz + xy)
<=> 2Q ≥4.5 <=> 2Q ≥20 <=> Q ≥ 10
Q = 10 khi x = 1, y = 1, z = 2
Vậy giá trị nhỏ nhất của Q là 10 khi và chỉ khi x = y = 1, z = 2
Bài 2. Cho ba số x, y, z thỏa mãn x + y + z = 0 và x2 + y2 + z2 = a2. Tính giá trị của biểu thức x4 + y4 + z4
Với bài tập trên, ta có thể giải như sau:
Ta có x + y + z = 0
=> x = -(y + z)
=> x2 = (y+z)2
=> x2 = y2 + z2 + 2yz
=> x2 - y2 - z2 = 2yz
=> (x2−y2−z2)2 = 4y2z2
=> x4 + y4 + z4 - 2x2y2 - 2x2z2 + 2y2z2 = 4y2z2
=> x4 + y4 + z4 = 2x2y2 + 2x2z2 + 2y2z2
=> 2(x4 + y4 + z4) - (x4 + y4 + z4) = 2x2y2 + 2x2z2 + 2y2z2
=> 2(x4 + y4 + z4) = x4 + y4 + z4 + 2x2y2 + 2x2z2 + 2y2z2
Ta có x + y + z = 0
=> x = -(y + z)
=> x2 = (y+z)2
=> x2 = y2 + z2 + 2yz
=> x2 - y2 - z2 = 2yz
=> (x2−y2−z2)2 = 4y2z2
=> x4 + y4 + z4 - 2x2y2 - 2x2z2 + 2y2z2 = 4y2z2
=> x4 + y4 + z4 = 2x2y2 + 2x2z2 + 2y2z2
=> 2(x4 + y4 + z4) - (x4 + y4 + z4) = 2x2y2 + 2x2z2 + 2y2z2
=> 2(x4 + y4 + z4) = x4 + y4 + z4 + 2x2y2 + 2x2z2 + 2y2z2
= (x2+y2+z2)2 = 22 = 4
Vậy giá trị của biểu thức x4 + y4 + z4 là 4.
Vậy giá trị của biểu thức x4 + y4 + z4 là 4.
EmoticonEmoticon