[Toán 8] Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3x^2 + 3y^2 + z^2.

Ngày 2/10/2016, bạn Hương Lan yêu cầu hai bài tập. Có nhiều ý kiến với những cách trình bày khác nhau. Sau đây là tổng hợp cách giải được đa số ý kiến tán đồng.

Bài 1. Cho x, y, z dương và thỏa mãn xy + yz + xz = 5. Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3$x^2$ + 3$y^2$ + $z^2$.

Gợi ý cho bạn:
Đặt Q = 3$x^2$ + 3$y^2$ + $z^2$
<=> 2Q = 6$x^2$ + 6$y^2$ + 2$z^2$ = 4$x^2$ + 2$x^2$ + 4$y^2$ + 2$y^2$ + $z^2$ + $z^2$
= (4$x^2$ + $z^2$) + (4$y^2$ + $z^2$) + (2$x^2$ + 2$y^2$)
Áp dụng BĐT Cô si, ta có:
4$x^2$ + $z^2$ $\geq$ 4xz
4$y^2$ + $z^2$ $\geq$ 4yz
2$x^2$ + 2$y^2$ $\geq$ 4xy
Lúc đó : 2Q $\geq$ 4(xz + yz + xy)
<=> 2Q $\geq$4.5 <=> 2Q $\geq$20 <=> Q $\geq$ 10
Q = 10 khi x = 1, y = 1, z = 2
Vậy giá trị nhỏ nhất của Q là 10 khi và chỉ khi x = y = 1, z = 2

Bài 2. Cho ba số x, y, z thỏa mãn x + y + z = 0 và $x^2$ + $y^2$ + $z^2$ = $a^2$. Tính giá trị của biểu thức $x^4$ + $y^4$ + $z^4$

Với bài tập trên, ta có thể giải như sau:
Ta có x + y + z = 0
=> x = -(y + z)
=> $x^2$ = $(y + z)^2$
=> $x^2$ = $y^2$ + $z^2$ + 2yz
=> $x^2$ - $y^2$ - $z^2$ = 2yz
=> $(x^2 - y^2 - z^2)^2$ = 4$y^2z^2$
=> $x^4$ + $y^4$ + $z^4$ - 2$x^2y^2$ - 2$x^2z^2$ + 2$y^2z^2$ = 4$y^2z^2$
=> $x^4$ + $y^4$ + $z^4$ = 2$x^2y^2$ + 2$x^2z^2$ + 2$y^2z^2$
=> 2($x^4$ + $y^4$ + $z^4$) - ($x^4$ + $y^4$ + $z^4$) = 2$x^2y^2$ + 2$x^2z^2$ + 2$y^2z^2$
=> 2($x^4$ + $y^4$ + $z^4$) = $x^4$ + $y^4$ + $z^4$ + 2$x^2y^2$ + 2$x^2z^2$ + 2$y^2z^2$ 

= $(x^2 + y^2 + z^2)^2$ = $2^2$ = 4
Vậy giá trị của biểu thức $x^4$ + $y^4$ + $z^4$ là 4.

Xem thêm: Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức.

Mỗi bài toán có nhiều cách giải, đừng quên chia sẻ cách giải hoặc ý kiến đóng góp của bạn ở khung nhận xét bên dưới. Xin cảm ơn!

CÙNG CHIA SẺ ĐỂ KIẾN THỨC ĐƯỢC LAN TỎA!

Be a Fan

Bài học liên quan.

• [Toán 9] Chứng minh BC = AB.cosB + AC.cosCNgày 4/10/2018 bạn Anh Tran gửi bài toán: Cho tam giác ABC nhọn a) Chứng minh $\frac{BC}{sinA}$ = $
• [Toán 8] Chứng minh tứ giác BB''CC'' là hình thang.Ngày 11/9/2018 bạn có nickname Đepchat gửi bài toán: Cho tam giác ABC. Trên tia AC lấy điểm B'&
• [Toán 9] Giải các phương trình dạng (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = m$x^2$Ngày 5/8/2018 bạn Nguyễn Hân gửi bài toán giải các phương trình sau: 1) (2x + 1)(2x + 3)(2x + 5)(2x
• Hai đường thẳng Mz và Ny có song song với nhau hay không.Ngày 2/8/2018 bạn có nickname Toikhongbiet yêu cầu bài tập bổ sung 4.3 trong bài hai đường thẳng so
• [Toán 8] Tính chiều cao của ống khói. Ngày 1/4/2018 bạn Tam Nguyen yêu cầu bài toán: Một ống khói của nhà máy có bóng trên mặt đất là 36
• [Toán 8] Chứng minh AECB là hình thang vuông.Ngày 13/9/2018 bạn Dang Dang gửi bài toán:Cho tam giác ABC vuông cân tại A, BC bằng 2cm. Ở phía ngo