Giải SBT căn thức bậc hai và hằng đẳng thức (P2)
Trong phần 1 ta đã cùng nhau hoàn thành một số bài tâp về căn thức bậc hai và hằng đẳng thức, phần còn lại sẽ cố gắng giải quyết xong trong hôm nay. Phần thưởng cho những cố gắng đó thật tuyệt vời. Những rắc rối của căn thức bậc 2 và hằng đẳng thức $\sqrt{A^2}$ = $\left | A \right | $ không còn làm khó ta nữa.
Giải bài 17* trang 8 SBT toán 9 tập 1.
Tìm x biết:
a) $\sqrt{9x^2}$ = 2x + 1 b) $\sqrt{x^2 + 6x + 9}$ = 3x - 1
c) $\sqrt{1 - 4x + 4x^2}$ = 5 d) $\sqrt{x^4}$ = 7.
Bài giải:
a) $\sqrt{9x^2}$ = 2x + 1 (1)
<=> $\sqrt{(3x)^2}$ = 2x + 1
<=> $\left | 3x \right | $ = 2x + 1 (2)
Xét hai trường hợp:
➤ Nếu 3x $\geq$ 0 <=> x $\geq$ 0. Khi đó $\left | 3x \right | $ = 3x, ta có phương trình:
3x = 2x + 1 <=> 3x - 2x = 1 <=> x = 1 (thỏa mãn điều kiện)
Nên x = 1 là nghiệm của pt (2)
➤ Nếu 3x < 0 <=> x < 0. Khi đó $\left | 3x \right | $ = -3x, ta có phương trình:
-3x = 2x + 1 <=> -3x - 2x = 1 <=> -5x = 1 <=> x = -0,2 (thỏa mãn điều kiện)
Nên x = -0,2 là nghiệm của pt (2)
Nghiệm của pt (2) cũng là nghiệm của pt (1). Vậy các giá trị x cần tìm là x = 1 và x = -0,2
b) $\sqrt{x^2 + 6x + 9}$ = 3x - 1
<=> $\sqrt{(x + 3)^2}$ = 3x - 1
<=> $\left | x + 3 \right | $ = 3x - 1 (1)
➤ Nếu x + 3 $\geq$ 0 <=> x $\geq$ -3. Khi đó $\left | x + 3 \right | $ = x + 3, ta có phương trình:
x + 3 = 3x - 1 <=> 3x - x = 3 + 1 <=> 2x = 4 <=> x = 2 (thỏa mãn điều kiện)
Nên x = 2 là nghiệm của pt (2)
➤ Nếu x + 3 < 0 <=> x < -3. Khi đó $\left | x + 3 \right | $ = -(x + 3), ta có phương trình:
-(x + 3) = 3x - 1 <=> -x - 3 = 3x - 1 <=> 3x + x = -3 + 1 <=> 4x = -2 <=> x = -$\frac{1}{2}$ (không thỏa mãn điều kiện)
Nên chỉ có x = 2 là nghiệm của phương trình (1)
Vậy giá trị x cần tìm là x = 2.
c) $\sqrt{1 - 4x + 4x^2}$ = 5
<=> $\sqrt{(1 - 2x)^2}$ = 5
<=> $\left | 1 - 2x \right | $ = 5 (1)
➤ Nếu 1 - 2x $\geq$ 0 <=> -2x $\geq$ -1 <=> x $\leq$ $\frac{1}{2}$ . Khi đó $\left | 1 - 2x \right | $ = 1 - 2x, ta có phương trình:
1 - 2x = 5 <=> -2x = 5 - 1 <=> -2x = 4 <=> x = -2 (thỏa mãn điều kiện)
Nên x = -2 là nghiệm của pt (1)
➤ Nếu 1 - 2x < 0 <=> -2x < -1 <=> x > $\frac{1}{2}$ . Khi đó $\left | 1 - 2x \right | $ = -(1 - 2x), ta có phương trình:
-(1 - 2x) = 5 <=> -1 + 2x = 5 <=> 2x = 6 <=> x = 3 (thỏa mãn điều kiện)
Nên x = 3 là nghiệm của pt (1)
a) $\sqrt{9x^2}$ = 2x + 1 (1)
<=> $\sqrt{(3x)^2}$ = 2x + 1
<=> $\left | 3x \right | $ = 2x + 1 (2)
Xét hai trường hợp:
➤ Nếu 3x $\geq$ 0 <=> x $\geq$ 0. Khi đó $\left | 3x \right | $ = 3x, ta có phương trình:
3x = 2x + 1 <=> 3x - 2x = 1 <=> x = 1 (thỏa mãn điều kiện)
Nên x = 1 là nghiệm của pt (2)
➤ Nếu 3x < 0 <=> x < 0. Khi đó $\left | 3x \right | $ = -3x, ta có phương trình:
-3x = 2x + 1 <=> -3x - 2x = 1 <=> -5x = 1 <=> x = -0,2 (thỏa mãn điều kiện)
Nên x = -0,2 là nghiệm của pt (2)
Nghiệm của pt (2) cũng là nghiệm của pt (1). Vậy các giá trị x cần tìm là x = 1 và x = -0,2
b) $\sqrt{x^2 + 6x + 9}$ = 3x - 1
<=> $\sqrt{(x + 3)^2}$ = 3x - 1
<=> $\left | x + 3 \right | $ = 3x - 1 (1)
➤ Nếu x + 3 $\geq$ 0 <=> x $\geq$ -3. Khi đó $\left | x + 3 \right | $ = x + 3, ta có phương trình:
x + 3 = 3x - 1 <=> 3x - x = 3 + 1 <=> 2x = 4 <=> x = 2 (thỏa mãn điều kiện)
Nên x = 2 là nghiệm của pt (2)
➤ Nếu x + 3 < 0 <=> x < -3. Khi đó $\left | x + 3 \right | $ = -(x + 3), ta có phương trình:
-(x + 3) = 3x - 1 <=> -x - 3 = 3x - 1 <=> 3x + x = -3 + 1 <=> 4x = -2 <=> x = -$\frac{1}{2}$ (không thỏa mãn điều kiện)
Nên chỉ có x = 2 là nghiệm của phương trình (1)
Vậy giá trị x cần tìm là x = 2.
c) $\sqrt{1 - 4x + 4x^2}$ = 5
<=> $\sqrt{(1 - 2x)^2}$ = 5
<=> $\left | 1 - 2x \right | $ = 5 (1)
➤ Nếu 1 - 2x $\geq$ 0 <=> -2x $\geq$ -1 <=> x $\leq$ $\frac{1}{2}$ . Khi đó $\left | 1 - 2x \right | $ = 1 - 2x, ta có phương trình:
1 - 2x = 5 <=> -2x = 5 - 1 <=> -2x = 4 <=> x = -2 (thỏa mãn điều kiện)
Nên x = -2 là nghiệm của pt (1)
➤ Nếu 1 - 2x < 0 <=> -2x < -1 <=> x > $\frac{1}{2}$ . Khi đó $\left | 1 - 2x \right | $ = -(1 - 2x), ta có phương trình:
-(1 - 2x) = 5 <=> -1 + 2x = 5 <=> 2x = 6 <=> x = 3 (thỏa mãn điều kiện)
Nên x = 3 là nghiệm của pt (1)
Vậy giá trị x cần tìm là x = -2 và x = 3.
d) $\sqrt{x^4}$ = 7
<=> $\sqrt{(x^2)^2}$ = 7
<=> $\left | x^2 \right | $ = 7
<=> $x^2$ = 7
<=> x = $\pm \sqrt{7}$.
Giải bài 18 trang 8 SBT toán 9 tập 1.
Phân tích thành nhân tử:
a) $x^2$ - 7 b) $x^2$ - 2$\sqrt{2}$.x + 2 c) $x^2$ + 2$\sqrt{13}$x + 13
Bài giải:
a) $x^2$ - 7 = (x - $\sqrt{7}$)(x + $\sqrt{7}$)
b) $x^2$ - 2$\sqrt{2}$.x + 2 = $x^2$ - 2$\sqrt{2}$.x + $(\sqrt{2})^2$ = $(x - \sqrt{2})^2$
c) $x^2$ + 2$\sqrt{13}$x + 13 = $x^2$ + 2$\sqrt{13}$x + $(\sqrt{13})^2$ = $(x + \sqrt{13})^2$
a) $x^2$ - 7 = (x - $\sqrt{7}$)(x + $\sqrt{7}$)
b) $x^2$ - 2$\sqrt{2}$.x + 2 = $x^2$ - 2$\sqrt{2}$.x + $(\sqrt{2})^2$ = $(x - \sqrt{2})^2$
c) $x^2$ + 2$\sqrt{13}$x + 13 = $x^2$ + 2$\sqrt{13}$x + $(\sqrt{13})^2$ = $(x + \sqrt{13})^2$
Giải bài 19 trang 8 SBT toán 9 tập 1.
Rút gọn phân thức:
a) $\frac{x^2 - 5}{x + \sqrt{5}}$ (với x $\neq$ -$\sqrt{5}$). b) $\frac{x^2 + 2\sqrt{x} + 2}{x^2 - 2}$ (với x $\neq \pm\sqrt{2}$).
Bài giải:
a) $\frac{x^2 - 5}{x + \sqrt{5}}$ = $\frac{(x - \sqrt{5})(x + \sqrt{5})}{x + \sqrt{5}}$ = x - $\sqrt{5}$
b) $\frac{x^2 + 2\sqrt{x} + 2}{x^2 - 2}$ = $\frac{(x + \sqrt{2})^2}{(x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2})}$ = $\frac{x + \sqrt{2}}{x - \sqrt{2}}$.
a) $\frac{x^2 - 5}{x + \sqrt{5}}$ = $\frac{(x - \sqrt{5})(x + \sqrt{5})}{x + \sqrt{5}}$ = x - $\sqrt{5}$
b) $\frac{x^2 + 2\sqrt{x} + 2}{x^2 - 2}$ = $\frac{(x + \sqrt{2})^2}{(x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2})}$ = $\frac{x + \sqrt{2}}{x - \sqrt{2}}$.
Giải bài 20 trang 8 SBT toán 9 tập 1.
So sánh (không dùng bảng số hay máy tính bỏ túi)
a) 6 + 2$\sqrt{2}$ và 9 b) $\sqrt{2}$ + $\sqrt{3}$ và 3
c) 9 + 4$\sqrt{5}$ và 16 d) $\sqrt{11}$ - $\sqrt{3}$ và 2.
Bài giải:
a) 6 + 2$\sqrt{2}$ và 9
Ta có 2$\sqrt{2}$ = $\sqrt{(2\sqrt{2})^2}$ = $\sqrt{2^2.(\sqrt{2})^2}$ = $\sqrt{8}$
3 = $\sqrt{3^2}$ = $\sqrt{9}$
Vì $\sqrt{8}$ < $\sqrt{9}$ nên 2$\sqrt{2}$ < 3
Suy ra 6 + 2$\sqrt{2}$ < 3 + 6 (cộng 6 vào hai vế)
Hay 6 + 2$\sqrt{2}$ < 9
b) $\sqrt{2}$ + $\sqrt{3}$ và 3
Ta có $(\sqrt{2} + \sqrt{3})^2$ = $(\sqrt{2})^2$ + 2.$\sqrt{2}.\sqrt{3}$ + $(\sqrt{3}^2$ = 2 + 2.$\sqrt{2}.\sqrt{3}$ + 3 = 5 + 2.$\sqrt{2}.\sqrt{3}$
Ta cũng có $3^2$ = 9 = 5 + 2.2
Nên để so sánh $\sqrt{2}$ + $\sqrt{3}$ và 3 ta sẽ so sánh 5 + 2.$\sqrt{2}.\sqrt{3}$ và 5 + 2.2
Đến đây ta chỉ cần so sánh $\sqrt{2}.\sqrt{3}$ và 2
Ta có $(\sqrt{2}.\sqrt{3})^2$ = $(\sqrt{2})^2$.$(\sqrt{3})^2$ = 2.3 = 6
và $2^2$ = 4
Suy ra $\sqrt{2}.\sqrt{3}$ > 2
Do đó 5 + 2.$\sqrt{2}.\sqrt{3}$ > 9
Hay $\sqrt{2}$ + $\sqrt{3}$ > 3
c) 9 + 4$\sqrt{5}$ và 16
Ta nhận thấy 16 = 9 + 7, nên để so sánh 9 + 4$\sqrt{5}$ và 16, ta chỉ cần so sánh 4$\sqrt{5}$ và 7
Ta có $(4\sqrt{5})^2$ = $4^2.(\sqrt{5})^2$ = 16.5 = 80
và $7^2$ = 49
Vì 80 > 49 nên $(4\sqrt{5})^2$ > $7^2$
Do đó 4$\sqrt{5}$ > 7
Suy ra 9 + 4$\sqrt{5}$ > 16
d) $\sqrt{11}$ - $\sqrt{3}$ và 2
Vì $\sqrt{11}$ > $\sqrt{3}$ nên $\sqrt{11}$ - $\sqrt{3}$ > 0
Khi đó $(\sqrt{11} - \sqrt{3})^2$ = $(\sqrt{11})^2$ - 2.$\sqrt{11}$.$\sqrt{3}$ + $(\sqrt{3})^2$ = 11 - 2.$\sqrt{11}$.$\sqrt{3}$ + 3 = 14 - 2.$\sqrt{11}$.$\sqrt{3}$
và $2^2$ = 4 = 14 - 2.5
Đến đây ta chỉ cần so sánh $\sqrt{11}$.$\sqrt{3}$ và 5
Ta có $(\sqrt{11}.\sqrt{3})^2$ = $(\sqrt{11})^2$.$(\sqrt{3})^2$ = 11.3 = 33
và $5^2$ = 25
Vì 33 > 25 nên $(\sqrt{11}.\sqrt{3})^2$ > $5^2$ hay $\sqrt{11}$.$\sqrt{3}$ > 5
Suy ra -2.$\sqrt{11}$.$\sqrt{3}$ < -2.5
Do đó 14 - 2.$\sqrt{11}$.$\sqrt{3}$ < 14 - 2.5
Hay $\sqrt{11}$ - $\sqrt{3}$ < 2.
a) 6 + 2$\sqrt{2}$ và 9
Ta có 2$\sqrt{2}$ = $\sqrt{(2\sqrt{2})^2}$ = $\sqrt{2^2.(\sqrt{2})^2}$ = $\sqrt{8}$
3 = $\sqrt{3^2}$ = $\sqrt{9}$
Vì $\sqrt{8}$ < $\sqrt{9}$ nên 2$\sqrt{2}$ < 3
Suy ra 6 + 2$\sqrt{2}$ < 3 + 6 (cộng 6 vào hai vế)
Hay 6 + 2$\sqrt{2}$ < 9
b) $\sqrt{2}$ + $\sqrt{3}$ và 3
Ta có $(\sqrt{2} + \sqrt{3})^2$ = $(\sqrt{2})^2$ + 2.$\sqrt{2}.\sqrt{3}$ + $(\sqrt{3}^2$ = 2 + 2.$\sqrt{2}.\sqrt{3}$ + 3 = 5 + 2.$\sqrt{2}.\sqrt{3}$
Ta cũng có $3^2$ = 9 = 5 + 2.2
Nên để so sánh $\sqrt{2}$ + $\sqrt{3}$ và 3 ta sẽ so sánh 5 + 2.$\sqrt{2}.\sqrt{3}$ và 5 + 2.2
Đến đây ta chỉ cần so sánh $\sqrt{2}.\sqrt{3}$ và 2
Ta có $(\sqrt{2}.\sqrt{3})^2$ = $(\sqrt{2})^2$.$(\sqrt{3})^2$ = 2.3 = 6
và $2^2$ = 4
Suy ra $\sqrt{2}.\sqrt{3}$ > 2
Do đó 5 + 2.$\sqrt{2}.\sqrt{3}$ > 9
Hay $\sqrt{2}$ + $\sqrt{3}$ > 3
c) 9 + 4$\sqrt{5}$ và 16
Ta nhận thấy 16 = 9 + 7, nên để so sánh 9 + 4$\sqrt{5}$ và 16, ta chỉ cần so sánh 4$\sqrt{5}$ và 7
Ta có $(4\sqrt{5})^2$ = $4^2.(\sqrt{5})^2$ = 16.5 = 80
và $7^2$ = 49
Vì 80 > 49 nên $(4\sqrt{5})^2$ > $7^2$
Do đó 4$\sqrt{5}$ > 7
Suy ra 9 + 4$\sqrt{5}$ > 16
d) $\sqrt{11}$ - $\sqrt{3}$ và 2
Vì $\sqrt{11}$ > $\sqrt{3}$ nên $\sqrt{11}$ - $\sqrt{3}$ > 0
Khi đó $(\sqrt{11} - \sqrt{3})^2$ = $(\sqrt{11})^2$ - 2.$\sqrt{11}$.$\sqrt{3}$ + $(\sqrt{3})^2$ = 11 - 2.$\sqrt{11}$.$\sqrt{3}$ + 3 = 14 - 2.$\sqrt{11}$.$\sqrt{3}$
và $2^2$ = 4 = 14 - 2.5
Đến đây ta chỉ cần so sánh $\sqrt{11}$.$\sqrt{3}$ và 5
Ta có $(\sqrt{11}.\sqrt{3})^2$ = $(\sqrt{11})^2$.$(\sqrt{3})^2$ = 11.3 = 33
và $5^2$ = 25
Vì 33 > 25 nên $(\sqrt{11}.\sqrt{3})^2$ > $5^2$ hay $\sqrt{11}$.$\sqrt{3}$ > 5
Suy ra -2.$\sqrt{11}$.$\sqrt{3}$ < -2.5
Do đó 14 - 2.$\sqrt{11}$.$\sqrt{3}$ < 14 - 2.5
Hay $\sqrt{11}$ - $\sqrt{3}$ < 2.
Giải bài 21 trang 8 SBT toán 9 tập 1.
Rút gọn các biểu thức:
a) $\sqrt{4 - 2\sqrt{3}}$ - $\sqrt{3}$ b) $\sqrt{11 + 6\sqrt{2}}$ - 3 + $\sqrt{2}$
c) $\sqrt{9x^2}$ - 2x với x < 0 d) x - 4 + $\sqrt{16 - 8x + x^2}$ với x > 4
Bài giải:
a) $\sqrt{4 - 2\sqrt{3}}$ - $\sqrt{3}$ = $\sqrt{3 - 2\sqrt{3}.1 + 1}$ - $\sqrt{3}$ = $\sqrt{(\sqrt{3} - 1)^2}$ - $\sqrt{3}$
= $\left | \sqrt{3} - 1 \right | $ - $\sqrt{3}$ = $\sqrt{3}$ - 1 - $\sqrt{3}$ = -1.
b) $\sqrt{11 + 6\sqrt{2}}$ - 3 + $\sqrt{2}$ = $\sqrt{9 + 2.3.\sqrt{2} + 2}$ - 3 + $\sqrt{2}$ = $\sqrt{(3 + \sqrt{2})^2}$ - 3 + $\sqrt{2}$
= $\left | 3 + \sqrt{2} \right | $ - 3 + $\sqrt{2}$ = 3 + $\sqrt{2}$ - 3 + $\sqrt{2}$ = 2$\sqrt{2}$
c) $\sqrt{9x^2}$ - 2x = $\sqrt{(3x)^2}$ - 2x = $\left | 3x \right | $ - 2x = -3x - 2x = -5x (vì x < 0 nên $\left | 3x \right | $ = -3x)
d) x - 4 + $\sqrt{16 - 8x + x^2}$ = x - 4 + $\sqrt{4^2 - 2.4.x + x^2}$ = x - 4 + $\sqrt{(4 - x)^2}$ = x - 4 + $\left | 4 - x \right | $ = x - 4 - (4 - x) = x - 4 - 4 + x = 2x - 8 (vì x > 4 nên $\left | 4 - x \right | $ = -(4 - x) )
a) $\sqrt{4 - 2\sqrt{3}}$ - $\sqrt{3}$ = $\sqrt{3 - 2\sqrt{3}.1 + 1}$ - $\sqrt{3}$ = $\sqrt{(\sqrt{3} - 1)^2}$ - $\sqrt{3}$
= $\left | \sqrt{3} - 1 \right | $ - $\sqrt{3}$ = $\sqrt{3}$ - 1 - $\sqrt{3}$ = -1.
b) $\sqrt{11 + 6\sqrt{2}}$ - 3 + $\sqrt{2}$ = $\sqrt{9 + 2.3.\sqrt{2} + 2}$ - 3 + $\sqrt{2}$ = $\sqrt{(3 + \sqrt{2})^2}$ - 3 + $\sqrt{2}$
= $\left | 3 + \sqrt{2} \right | $ - 3 + $\sqrt{2}$ = 3 + $\sqrt{2}$ - 3 + $\sqrt{2}$ = 2$\sqrt{2}$
c) $\sqrt{9x^2}$ - 2x = $\sqrt{(3x)^2}$ - 2x = $\left | 3x \right | $ - 2x = -3x - 2x = -5x (vì x < 0 nên $\left | 3x \right | $ = -3x)
d) x - 4 + $\sqrt{16 - 8x + x^2}$ = x - 4 + $\sqrt{4^2 - 2.4.x + x^2}$ = x - 4 + $\sqrt{(4 - x)^2}$ = x - 4 + $\left | 4 - x \right | $ = x - 4 - (4 - x) = x - 4 - 4 + x = 2x - 8 (vì x > 4 nên $\left | 4 - x \right | $ = -(4 - x) )
Giải bài 22 trang 8 SBT toán 9 tập 1.
Với n là số tự nhiên, chứng minh đẳng thức:
$\sqrt{(n + 1)^2}$ + $\sqrt{n^2}$ = $(n + 1)^2$ - $n^2$
Bài giải:
Ta có:
VT = $\sqrt{(n + 1)^2}$ + $\sqrt{n^2}$ = $\left | n + 1 \right | $ + $\left | n \right | $ = n + 1 + n = 2x + 1 (vì n là số tự nhiên)
VP = $(n + 1)^2$ - $n^2$ = $n^2$ + 2n + 1 - $n^2$ = 2n + 1
Do đó VT = VP
Vậy đẳng thức đã được chứng minh.
Mỗi bài toán có nhiều cách giải, đừng quên chia sẻ cách giải hoặc ý kiến đóng góp của bạn ở khung nhận xét bên dưới. Xin cảm ơn!
Bài giải:
Ta có:
VT = $\sqrt{(n + 1)^2}$ + $\sqrt{n^2}$ = $\left | n + 1 \right | $ + $\left | n \right | $ = n + 1 + n = 2x + 1 (vì n là số tự nhiên)
VP = $(n + 1)^2$ - $n^2$ = $n^2$ + 2n + 1 - $n^2$ = 2n + 1
Do đó VT = VP
Vậy đẳng thức đã được chứng minh.
EmoticonEmoticon