Giải SBT toán 8 tứ giác.

Trong phần lý thuyết ở trên lớp cô giáo đã trang bị cho ta những hiểu biết cơ bản về tứ giác. Nhưng những điều thú vị nhất vẫn còn đang ở phía trước, cô giáo bảo thế. Giải tất cả các bài tập về tứ giác là cách để ta khám phá những điều thú vị đó.

Giải bài 1 trang 80 SBT toán 8 tập 1

Tính tổng các góc ngoài của tứ giác (tại mỗi đỉnh của tứ giác chỉ chọn một góc ngoài)
Bài giải:
Ta chọn một góc ngoài tại mỗi đỉnh như hình vẽ.
giaibaitaptoan.blogspot.com
Tổng các góc ngoài của tứ giác ABCD?

Ta sẽ tính tổng: ^A2 + ^B2 + ^C2 + ^D2.
Ta có ^A1 + ^B1 + ^C1 + ^D1 = 3600 (tổng các góc của một tứ giác)
Ta cũng có ^A2 = 1800 - ^A1 (hai góc kề bù)
Tương tự ta có:
^B2 = 1800 - ^B1
^C2 = 1800 - ^C1
^D2 = 1800 - ^D1
Khi đó ^A2 + ^B2 + ^C2 + ^D2 = (1800 - ^A1) + (1800 - ^B1) + (1800 - ^C1) + (1800 - ^D1).
<=> ^A2 + ^B2 + ^C2 + ^D2 = (1800 + 1800 + 1800 + 1800) - (^A1 + ^B1 + ^C1 + ^D1)
<=> ^A2 + ^B2 + ^C2 + ^D2 = 7200 - 3600 = 3600.
Vậy tổng các góc ngoài của tứ giác bằng 3600.

Giải bài 2 trang 80 SBT toán 8 tập 1.

Tứ giác ABCD có AB = BC, CD = DA
a) Chứng minh rằng BD là đường trung trực của AC.
b) Cho biết ˆB = 1000, ˆD = 700. Tính ˆAˆC?
Bài giải:
a) Ta biết rằng "điểm cách đều hai mút của một đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó". Nên ở đây ta có:
AB = BC => B nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AC (1)
CD = DA => D nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AC (2)
Từ (1) và (2) suy ra BD là đường trung trực của AC.
giaibaitaptoan.blogspot.com
Chứng minh BD là đường trung trực của AC.
b) Xét hai tam giác ABD và CBD có:
AB = CB (gt)
Cạnh BD chung.
AD = CD (gt)
Vậy Δ ABD = Δ CBD (c-c-c)
Suy ra ^BAD = ^BCD (1)
Theo tổng các góc của một tứ giác ta có:
^BAD + ^BCD + ˆB + ˆD = 3600.
=> ^BAD + ^BCD = 3600 - (ˆB + ˆD)
<=> ^BAD + ^BCD = 3600 - (1000 + 700)
<=> ^BAD + ^BCD = 1900 (2)
Từ (1) và (2) suy ra ^BAD = ^BCD = 1900 : 2 = 950
Vậy ˆA = ˆC = 950.

Giải bài 3 trang 80 SBT toán 8 tập 1.

Vẽ lại tứ giác ABCD ở hình 1 vào vở bằng cách vẽ hai tam giác.
Bài giải:
Để vẽ được tứ giác ABCD, nếu ta là một... họa sĩ thì dễ rồi, chỉ việc nhìn vào hình 1 đã cho và vẽ lại thôi. Nhưng ta lại là một học sinh lớp 8, nên đành phải đảm bảo thực hiện đúng theo hai yêu cầu:
Một là, vẽ tam giác ABD biết độ dài ba cạnh: AD = 4cm, BD = 3cm, AB = 2,5cm
Hai là, vẽ tam giác BCD biết hai cạnh BD = BC = 3cm và góc xen giữa ^CBD = 600.
giaibaitaptoan.blogspot.com
Vẽ tứ giác ABCD vào vở.
+ Cách vẽ tam giác khi biết độ dài 3 cạnh đã được học ở lớp 6 nên bạn nào cũng thực hiện được. Nếu bạn nào ... quên thì thử cách này xem sao:
- Đầu tiên, vẽ đoạn thẳng AB = 2,5 cm
- Tiếp theo, trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB, vẽ cung tròn tâm A bán kính 4cm và cung tròn tâm B bán kính 3cm. Hai cung tròn này cắt nhau tại D.
- Nối AD, BD ta được tam giác ABD.
+ Thực hiện yêu cầu thứ hai như thế nào đây ta! Hãy trở lại với lớp 7, hình như cách vẽ tam giác khi biết hai cạnh và góc xen giữa đã có ở đó.

Giải bài 4 trang 80 SBT toán 8 tập 1.

Tính các góc của tứ giác ABCD biết rằng:
ˆA : ˆB : ˆC : ˆD = 1:2:3:4
Bài giải:
Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau đã học ở lớp 7 ta có:
ˆA1 = ˆB2 = ˆC3 = ˆD4 = ˆA+ˆB+ˆC+ˆD10
Theo định lí tổng các góc của tứ giác, ta có: ˆA + ˆB + ˆC + ˆD = 3600
Do đó ˆA1 = ˆB2 = ˆC3 = ˆD4 = 360010 = 360
Vậy:
ˆA1 = 360 => ˆA = 360
ˆB2 = 360 => ˆB = 360.2 = 720
ˆC3 = 360 => ˆC = 360.3 = 1080
ˆD4 = 360 => ˆD = 360.4 = 1440.

Giải bài 5 trang 80 SBT toán 8 tập 1.

Tứ giác ABCD có ˆA = 650, ˆB = 1170, ˆC = 710. Tính số đo góc ngoài tại đỉnh D.
Bài giải:
Ta có ˆA + ˆB + ˆC + ˆD = 3600 (tổng các góc của một tứ giác)
<=> 650 + 1170 + 710 + ˆD = 3600
<=> ˆD = 3600 - (650 + 1170 + 710) = 1070
Suy ra góc ngoài tại đỉnh D bằng 1800 - 1070 = 730.

Giải bài 6 trang 80 SBT toán 8 tập 1.

Chứng minh rằng các góc của một tứ giác không thể đều là góc nhọn, không thể đều là góc tù.
Bài giải:
Giả sử ta có tứ giác ABCD.
- Nếu các góc của tứ giác ABCD đều là góc nhọn, khi đó ta có ˆA + ˆB + ˆC + ˆD < 3600
Điều này trái với định lí về tổng các góc của một tứ giác.
Suy ra các góc của một tứ giác không thể đều là góc nhọn.
- Nếu các góc của tứ giác ABCD đều là góc tù, khi đó ta có
ˆA + ˆB + ˆC + ˆD > 3600
Điều này trái với định lí về tổng các góc của một tứ giác.
Suy ra các góc của một tứ giác không thể đều là góc tù.

Giải bài 7 trang 80 SBT toán 8 tập 1.

Cho tứ giác ABCD. Chứng minh rằng tổng hai góc ngoài tại các đỉnh A và C bằng tổng hai góc trong tại các đỉnh B và D.
Bài giải:
giaibaitaptoan.blogspot.com
Tổng hai góc ngoài tại đỉnh A và C bằng?

Giả sử ta có tứ giác ABCD với:
^A1, ^C1 lần lượt là các góc trong tại đỉnh A và C.
^A2, ^C2 lần lượt là các góc ngoài tại đỉnh A và C.
Ta có:
^A2 = 1800 - ^A1
^C2 = 1800 - ^C1
Khi đó ^A2 + ^C2 = 1800 - ^A1 + 1800 - ^C1
<=> ^A2 + ^C2 = 3600 - (^A1 + ^C1)     (1)
Ta lại có ^A1 + ^C1 + ˆB + ˆD = 3600 (tổng các góc của tứ giác ABCD)
<=> ˆB + ˆD = 3600 - (^A1 + ^C1)     (2)
Từ (1) và (2) suy ra ^A2 + ^C2 = ˆB + ˆD.
Nói cách khác tổng hai góc ngoài tại các đỉnh A và C bằng tổng hai góc trong tại các đỉnh B và D (đpcm)

Giải bài 8 trang 80 SBT toán 8 tập 1.

Tứ giác ABCD có ˆA = 1100, ˆB = 1000. Các tia phân giác của các góc C và D cắt nhau ở E. Các đường phân giác của các góc ngoài tại các đỉnh C và D cắt nhau ở F. Tính ^CED, ^CFD.
Bài giải:
giaibaitaptoan.blogspot.com
Tính các góc CED và CFD.

Ta có ˆA + ˆB + ˆC + ˆD = 3600 (tổng các góc của tứ giác ABCD)
<=> 1100 + 1000ˆCˆD = 3600
<=> ˆC + ˆD = 3600 - 1100 - 1000
<=> ˆC + ˆD = 1500
Ta có:
^C1 = ˆC2 (CE là phân giác góc C)
^D1 = ˆD2 (DE là phân giác góc D)
Nên ^C1 + ^D1 = ˆC2 + ˆD2
<=> ^C1 + ^D1 = ^C+D2
<=> ^C1 + ^D1 = 15002 = 750
Xét tam giác DEC có:
^C1 + ^D1 + ^CED = 1800 (tổng ba góc của một tam giác)
=> ^CED = 1800 - (^C1 + ^D1)
<=> ^CED = 1800 - 750
<=> ^CED = 1050
Ta có:
CE CF (hai tia phân giác của góc ngoài và góc trong tại đỉnh C)
=> ^ECF = 900
DE DF (hai tia phân giác của góc ngoài và góc trong tại đỉnh D)
=> ^EDF = 900
Xét tứ giác DECF có:
^EDF + ^ECF + ^CED + ^CFD = 3600 (tổng các góc của tứ giác)
<=> 900 + 900 + 1050 + ^CFD = 3600
<=> ^CFD = 3600 - (900 + 900 + 1050)
<=> ^CFD = 750
Vậy ^CED = 1050, ^CFD = 750.

Giải bài 9 trang 80 SBT toán 8 tập 1.

Chứng minh rằng trong một tứ giác, tổng hai đường chéo lớn hơn tổng hai cạnh đối.
Bài giải:
giaibaitaptoan.blogspot.com
Tổng hai đường chéo lớn hơn tổng hai cạnh đối.

Gọi I là giao điểm của hai đường chéo AC và BD của tứ giác ABCD.
Xét tam giác AIB, ta có:
IA + IB > AB (tổng hai cạnh của một tam giác lớn hơn cạnh còn lại)
Tương tự xét tam giác CID, ta cũng có:
IC + ID > CD
Khi đó IA + IB + IC + ID > AB + CD
<=> (IA + IC) + (IB + ID) > AB + CD
<=> AC + BD > AB + CD.
Nói cách khác tổng hai đường chéo của một tứ giác lớn hơn tổng hai cạnh đối (đpcm).
Các bạn thử kiểm tra điều đó có đúng với hai cạnh đối còn lại AD và BC không nhé!

Giải bài 10 trang 80 SBT toán 8 tập 1.

Chứng minh rằng trong một tứ giác, tổng hai đường chéo lớn hơn nửa chu vi nhưng nhỏ hơn chu vi của tứ giác ấy.
Bài giải:

Giả sử ta có tứ giác ABCD, để dễ hình dung, ta đặt AB = a, BC = b, CD = c, DA = d.
Khi đó chu vi của tứ giác ABCD bằng a + b + c + d.
Theo bài 9 trong một tứ giác, tổng hai đường chéo lớn hơn tổng hai cạnh đối. Nên ta có:
AC + BD > AB + CD
AC + BD > BC + DA
Do đó:
AC + BD + AC + BD > AB + CD + BC + DA
<=> 2(AC + BD) > a + b + c + d
<=> AC + BD > a+b+c+d2
Vậy trong một tứ giác, tổng hai đường chéo lớn hơn nửa chu vi của tứ giác đó. (đpcm)
giaibaitaptoan.blogspot.com
Tổng hai đường chéo nhỏ hơn chu vi.
Theo quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác:
- trong tam giác ABC có AC < AB + BC
- trong tam giác ADC có AC < CD + DA
Cộng vế theo vế, ta được:
AC + AC < AB + BC + CD + DA
Hay 2AC < a + b + c + d
<=> AC < a+b+c+d2 (1)
Tương tự:
- trong tam giác ABD có BD < AB + DA
- trong tam giác CBD có BD < BC + CD
Do đó BD + BD < AB + DA + BC + CD
<=> 2BD < a + b + c + d
<=> BD < a+b+c+d2 (2)
Cộng (1) và (2) vế theo vế ta được:
AC + BD < a+b+c+d2 + a+b+c+d2
<=> AC + BD < 2(a+b+c+d)2
<=> AC + BD < a + b + c + d.
Vậy trong một tứ giác, tổng hai đường chéo nhỏ hơn chu vi của tứ giác ấy. (đpcm)


Mỗi bài toán có nhiều cách giải, đừng quên chia sẻ cách giải hoặc ý kiến đóng góp của bạn ở khung nhận xét bên dưới. Xin cảm ơn!

CÙNG CHIA SẺ ĐỂ KIẾN THỨC ĐƯỢC LAN TỎA!

Previous
Next Post »

EmoticonEmoticon

:)
:(
=(
^_^
:D
=D
=)D
|o|
@@,
;)
:-bd
:-d
:p
:ng
:lv
Cảm ơn các bạn đã ghé thăm trang GIẢI BÀI TẬP TOÁN và để lại những cảm nhận tích cực!