Giải SBT toán 8 tứ giác.
Trong phần lý thuyết ở trên lớp cô giáo đã trang bị cho ta những hiểu biết cơ bản về tứ giác. Nhưng những điều thú vị nhất vẫn còn đang ở phía trước, cô giáo bảo thế. Giải tất cả các bài tập về tứ giác là cách để ta khám phá những điều thú vị đó.
Bài giải:
Ta chọn một góc ngoài tại mỗi đỉnh như hình vẽ.
Ta sẽ tính tổng: $\widehat{A_2}$ + $\widehat{B_2}$ + $\widehat{C_2}$ + $\widehat{D_2}$.
Ta có $\widehat{A_1}$ + $\widehat{B_1}$ + $\widehat{C_1}$ + $\widehat{D_1}$ = $360^0$ (tổng các góc của một tứ giác)
Ta cũng có $\widehat{A_2}$ = $180^0$ - $\widehat{A_1}$ (hai góc kề bù)
Tương tự ta có:
$\widehat{B_2}$ = $180^0$ - $\widehat{B_1}$
$\widehat{C_2}$ = $180^0$ - $\widehat{C_1}$
$\widehat{D_2}$ = $180^0$ - $\widehat{D_1}$
Khi đó $\widehat{A_2}$ + $\widehat{B_2}$ + $\widehat{C_2}$ + $\widehat{D_2}$ = ($180^0$ - $\widehat{A_1}$) + ($180^0$ - $\widehat{B_1}$) + ($180^0$ - $\widehat{C_1}$) + ($180^0$ - $\widehat{D_1}$).
<=> $\widehat{A_2}$ + $\widehat{B_2}$ + $\widehat{C_2}$ + $\widehat{D_2}$ = ($180^0$ + $180^0$ + $180^0$ + $180^0$) - ($\widehat{A_1}$ + $\widehat{B_1}$ + $\widehat{C_1}$ + $\widehat{D_1}$)
<=> $\widehat{A_2}$ + $\widehat{B_2}$ + $\widehat{C_2}$ + $\widehat{D_2}$ = $720^0$ - $360^0$ = $360^0$.
Vậy tổng các góc ngoài của tứ giác bằng $360^0$.
Mỗi bài toán có nhiều cách giải, đừng quên chia sẻ cách giải hoặc ý kiến đóng góp của bạn ở khung nhận xét bên dưới. Xin cảm ơn!
Giải bài 1 trang 80 SBT toán 8 tập 1
Tính tổng các góc ngoài của tứ giác (tại mỗi đỉnh của tứ giác chỉ chọn một góc ngoài)Bài giải:
Ta chọn một góc ngoài tại mỗi đỉnh như hình vẽ.
 |
| Tổng các góc ngoài của tứ giác ABCD? |
Ta sẽ tính tổng: $\widehat{A_2}$ + $\widehat{B_2}$ + $\widehat{C_2}$ + $\widehat{D_2}$.
Ta có $\widehat{A_1}$ + $\widehat{B_1}$ + $\widehat{C_1}$ + $\widehat{D_1}$ = $360^0$ (tổng các góc của một tứ giác)
Ta cũng có $\widehat{A_2}$ = $180^0$ - $\widehat{A_1}$ (hai góc kề bù)
Tương tự ta có:
$\widehat{B_2}$ = $180^0$ - $\widehat{B_1}$
$\widehat{C_2}$ = $180^0$ - $\widehat{C_1}$
$\widehat{D_2}$ = $180^0$ - $\widehat{D_1}$
Khi đó $\widehat{A_2}$ + $\widehat{B_2}$ + $\widehat{C_2}$ + $\widehat{D_2}$ = ($180^0$ - $\widehat{A_1}$) + ($180^0$ - $\widehat{B_1}$) + ($180^0$ - $\widehat{C_1}$) + ($180^0$ - $\widehat{D_1}$).
<=> $\widehat{A_2}$ + $\widehat{B_2}$ + $\widehat{C_2}$ + $\widehat{D_2}$ = ($180^0$ + $180^0$ + $180^0$ + $180^0$) - ($\widehat{A_1}$ + $\widehat{B_1}$ + $\widehat{C_1}$ + $\widehat{D_1}$)
<=> $\widehat{A_2}$ + $\widehat{B_2}$ + $\widehat{C_2}$ + $\widehat{D_2}$ = $720^0$ - $360^0$ = $360^0$.
Vậy tổng các góc ngoài của tứ giác bằng $360^0$.
Giải bài 2 trang 80 SBT toán 8 tập 1.
Tứ giác ABCD có AB = BC, CD = DA
a) Chứng minh rằng BD là đường trung trực của AC.
b) Cho biết $\widehat{B}$ = $100^0$, $\widehat{D}$ = $70^0$. Tính $\widehat{A}$ và $\widehat{C}$?
Bài giải:
a) Ta biết rằng "điểm cách đều hai mút của một đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó". Nên ở đây ta có:
AB = BC => B nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AC (1)
CD = DA => D nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AC (2)
Từ (1) và (2) suy ra BD là đường trung trực của AC.
b) Xét hai tam giác ABD và CBD có:
AB = CB (gt)
Cạnh BD chung.
AD = CD (gt)
Vậy $\Delta$ ABD = $\Delta$ CBD (c-c-c)
Suy ra $\widehat{BAD}$ = $\widehat{BCD}$ (1)
Theo tổng các góc của một tứ giác ta có:
$\widehat{BAD}$ + $\widehat{BCD}$ + $\widehat{B}$ + $\widehat{D}$ = $360^0$.
=> $\widehat{BAD}$ + $\widehat{BCD}$ = $360^0$ - ($\widehat{B}$ + $\widehat{D}$)
<=> $\widehat{BAD}$ + $\widehat{BCD}$ = $360^0$ - ($100^0$ + $70^0$)
<=> $\widehat{BAD}$ + $\widehat{BCD}$ = $190^0$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{BAD}$ = $\widehat{BCD}$ = $190^0$ : 2 = $95^0$
Vậy $\widehat{A}$ = $\widehat{C}$ = $95^0$.
a) Ta biết rằng "điểm cách đều hai mút của một đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó". Nên ở đây ta có:
AB = BC => B nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AC (1)
CD = DA => D nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AC (2)
Từ (1) và (2) suy ra BD là đường trung trực của AC.
 |
| Chứng minh BD là đường trung trực của AC. |
AB = CB (gt)
Cạnh BD chung.
AD = CD (gt)
Vậy $\Delta$ ABD = $\Delta$ CBD (c-c-c)
Suy ra $\widehat{BAD}$ = $\widehat{BCD}$ (1)
Theo tổng các góc của một tứ giác ta có:
$\widehat{BAD}$ + $\widehat{BCD}$ + $\widehat{B}$ + $\widehat{D}$ = $360^0$.
=> $\widehat{BAD}$ + $\widehat{BCD}$ = $360^0$ - ($\widehat{B}$ + $\widehat{D}$)
<=> $\widehat{BAD}$ + $\widehat{BCD}$ = $360^0$ - ($100^0$ + $70^0$)
<=> $\widehat{BAD}$ + $\widehat{BCD}$ = $190^0$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{BAD}$ = $\widehat{BCD}$ = $190^0$ : 2 = $95^0$
Vậy $\widehat{A}$ = $\widehat{C}$ = $95^0$.
Giải bài 3 trang 80 SBT toán 8 tập 1.
Vẽ lại tứ giác ABCD ở hình 1 vào vở bằng cách vẽ hai tam giác.
Bài giải:
Để vẽ được tứ giác ABCD, nếu ta là một... họa sĩ thì dễ rồi, chỉ việc nhìn vào hình 1 đã cho và vẽ lại thôi. Nhưng ta lại là một học sinh lớp 8, nên đành phải đảm bảo thực hiện đúng theo hai yêu cầu:
Một là, vẽ tam giác ABD biết độ dài ba cạnh: AD = 4cm, BD = 3cm, AB = 2,5cm
Hai là, vẽ tam giác BCD biết hai cạnh BD = BC = 3cm và góc xen giữa $\widehat{CBD}$ = $60^0$.
+ Cách vẽ tam giác khi biết độ dài 3 cạnh đã được học ở lớp 6 nên bạn nào cũng thực hiện được. Nếu bạn nào ... quên thì thử cách này xem sao:
- Đầu tiên, vẽ đoạn thẳng AB = 2,5 cm
- Tiếp theo, trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB, vẽ cung tròn tâm A bán kính 4cm và cung tròn tâm B bán kính 3cm. Hai cung tròn này cắt nhau tại D.
- Nối AD, BD ta được tam giác ABD.
+ Thực hiện yêu cầu thứ hai như thế nào đây ta! Hãy trở lại với lớp 7, hình như cách vẽ tam giác khi biết hai cạnh và góc xen giữa đã có ở đó.
Để vẽ được tứ giác ABCD, nếu ta là một... họa sĩ thì dễ rồi, chỉ việc nhìn vào hình 1 đã cho và vẽ lại thôi. Nhưng ta lại là một học sinh lớp 8, nên đành phải đảm bảo thực hiện đúng theo hai yêu cầu:
Một là, vẽ tam giác ABD biết độ dài ba cạnh: AD = 4cm, BD = 3cm, AB = 2,5cm
Hai là, vẽ tam giác BCD biết hai cạnh BD = BC = 3cm và góc xen giữa $\widehat{CBD}$ = $60^0$.
 |
| Vẽ tứ giác ABCD vào vở. |
- Đầu tiên, vẽ đoạn thẳng AB = 2,5 cm
- Tiếp theo, trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB, vẽ cung tròn tâm A bán kính 4cm và cung tròn tâm B bán kính 3cm. Hai cung tròn này cắt nhau tại D.
- Nối AD, BD ta được tam giác ABD.
+ Thực hiện yêu cầu thứ hai như thế nào đây ta! Hãy trở lại với lớp 7, hình như cách vẽ tam giác khi biết hai cạnh và góc xen giữa đã có ở đó.
Giải bài 4 trang 80 SBT toán 8 tập 1.
Tính các góc của tứ giác ABCD biết rằng:
$\widehat{A}$ : $\widehat{B}$ : $\widehat{C}$ : $\widehat{D}$ = 1:2:3:4
Bài giải:
Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau đã học ở lớp 7 ta có:
$\frac{\widehat{A}}{1}$ = $\frac{\widehat{B}}{2}$ = $\frac{\widehat{C}}{3}$ = $\frac{\widehat{D}}{4}$ = $\frac{\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} + \widehat{D}}{10}$
Theo định lí tổng các góc của tứ giác, ta có: $\widehat{A}$ + $\widehat{B}$ + $\widehat{C}$ + $\widehat{D}$ = $360^0$
Do đó $\frac{\widehat{A}}{1}$ = $\frac{\widehat{B}}{2}$ = $\frac{\widehat{C}}{3}$ = $\frac{\widehat{D}}{4}$ = $\frac{360^0}{10}$ = $36^0$
Vậy:
$\frac{\widehat{A}}{1}$ = $36^0$ => $\widehat{A}$ = $36^0$
$\frac{\widehat{B}}{2}$ = $36^0$ => $\widehat{B}$ = $36^0$.2 = $72^0$
$\frac{\widehat{C}}{3}$ = $36^0$ => $\widehat{C}$ = $36^0$.3 = $108^0$
$\frac{\widehat{D}}{4}$ = $36^0$ => $\widehat{D}$ = $36^0$.4 = $144^0$.
Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau đã học ở lớp 7 ta có:
$\frac{\widehat{A}}{1}$ = $\frac{\widehat{B}}{2}$ = $\frac{\widehat{C}}{3}$ = $\frac{\widehat{D}}{4}$ = $\frac{\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} + \widehat{D}}{10}$
Theo định lí tổng các góc của tứ giác, ta có: $\widehat{A}$ + $\widehat{B}$ + $\widehat{C}$ + $\widehat{D}$ = $360^0$
Do đó $\frac{\widehat{A}}{1}$ = $\frac{\widehat{B}}{2}$ = $\frac{\widehat{C}}{3}$ = $\frac{\widehat{D}}{4}$ = $\frac{360^0}{10}$ = $36^0$
Vậy:
$\frac{\widehat{A}}{1}$ = $36^0$ => $\widehat{A}$ = $36^0$
$\frac{\widehat{B}}{2}$ = $36^0$ => $\widehat{B}$ = $36^0$.2 = $72^0$
$\frac{\widehat{C}}{3}$ = $36^0$ => $\widehat{C}$ = $36^0$.3 = $108^0$
$\frac{\widehat{D}}{4}$ = $36^0$ => $\widehat{D}$ = $36^0$.4 = $144^0$.
Giải bài 5 trang 80 SBT toán 8 tập 1.
Tứ giác ABCD có $\widehat{A}$ = $65^0$, $\widehat{B}$ = $117^0$, $\widehat{C}$ = $71^0$. Tính số đo góc ngoài tại đỉnh D.
Bài giải:
Ta có $\widehat{A}$ + $\widehat{B}$ + $\widehat{C}$ + $\widehat{D}$ = $360^0$ (tổng các góc của một tứ giác)
<=> $65^0$ + $117^0$ + $71^0$ + $\widehat{D}$ = $360^0$
<=> $\widehat{D}$ = $360^0$ - ($65^0$ + $117^0$ + $71^0$) = $107^0$
Suy ra góc ngoài tại đỉnh D bằng $180^0$ - $107^0$ = $73^0$.
Ta có $\widehat{A}$ + $\widehat{B}$ + $\widehat{C}$ + $\widehat{D}$ = $360^0$ (tổng các góc của một tứ giác)
<=> $65^0$ + $117^0$ + $71^0$ + $\widehat{D}$ = $360^0$
<=> $\widehat{D}$ = $360^0$ - ($65^0$ + $117^0$ + $71^0$) = $107^0$
Suy ra góc ngoài tại đỉnh D bằng $180^0$ - $107^0$ = $73^0$.
Giải bài 6 trang 80 SBT toán 8 tập 1.
Chứng minh rằng các góc của một tứ giác không thể đều là góc nhọn, không thể đều là góc tù.
Bài giải:
Giả sử ta có tứ giác ABCD.
- Nếu các góc của tứ giác ABCD đều là góc nhọn, khi đó ta có $\widehat{A}$ + $\widehat{B}$ + $\widehat{C}$ + $\widehat{D}$ < $360^0$
Điều này trái với định lí về tổng các góc của một tứ giác.
Suy ra các góc của một tứ giác không thể đều là góc nhọn.
- Nếu các góc của tứ giác ABCD đều là góc tù, khi đó ta có
$\widehat{A}$ + $\widehat{B}$ + $\widehat{C}$ + $\widehat{D}$ > $360^0$
Điều này trái với định lí về tổng các góc của một tứ giác.
Suy ra các góc của một tứ giác không thể đều là góc tù.
Giả sử ta có tứ giác ABCD.
- Nếu các góc của tứ giác ABCD đều là góc nhọn, khi đó ta có $\widehat{A}$ + $\widehat{B}$ + $\widehat{C}$ + $\widehat{D}$ < $360^0$
Điều này trái với định lí về tổng các góc của một tứ giác.
Suy ra các góc của một tứ giác không thể đều là góc nhọn.
- Nếu các góc của tứ giác ABCD đều là góc tù, khi đó ta có
$\widehat{A}$ + $\widehat{B}$ + $\widehat{C}$ + $\widehat{D}$ > $360^0$
Điều này trái với định lí về tổng các góc của một tứ giác.
Suy ra các góc của một tứ giác không thể đều là góc tù.
Giải bài 7 trang 80 SBT toán 8 tập 1.
Cho tứ giác ABCD. Chứng minh rằng tổng hai góc ngoài tại các đỉnh A và C bằng tổng hai góc trong tại các đỉnh B và D.
Bài giải:
Giả sử ta có tứ giác ABCD với:
$\widehat{A_1}$, $\widehat{C_1}$ lần lượt là các góc trong tại đỉnh A và C.
$\widehat{A_2}$, $\widehat{C_2}$ lần lượt là các góc ngoài tại đỉnh A và C.
Ta có:
$\widehat{A_2}$ = $180^0$ - $\widehat{A_1}$
$\widehat{C_2}$ = $180^0$ - $\widehat{C_1}$
Khi đó $\widehat{A_2}$ + $\widehat{C_2}$ = $180^0$ - $\widehat{A_1}$ + $180^0$ - $\widehat{C_1}$
<=> $\widehat{A_2}$ + $\widehat{C_2}$ = $360^0$ - ($\widehat{A_1}$ + $\widehat{C_1}$) (1)
Ta lại có $\widehat{A_1}$ + $\widehat{C_1}$ + $\widehat{B}$ + $\widehat{D}$ = $360^0$ (tổng các góc của tứ giác ABCD)
<=> $\widehat{B}$ + $\widehat{D}$ = $360^0$ - ($\widehat{A_1}$ + $\widehat{C_1}$) (2)
Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{A_2}$ + $\widehat{C_2}$ = $\widehat{B}$ + $\widehat{D}$.
Nói cách khác tổng hai góc ngoài tại các đỉnh A và C bằng tổng hai góc trong tại các đỉnh B và D (đpcm)
Bài giải:
 |
| Tổng hai góc ngoài tại đỉnh A và C bằng? |
Giả sử ta có tứ giác ABCD với:
$\widehat{A_1}$, $\widehat{C_1}$ lần lượt là các góc trong tại đỉnh A và C.
$\widehat{A_2}$, $\widehat{C_2}$ lần lượt là các góc ngoài tại đỉnh A và C.
Ta có:
$\widehat{A_2}$ = $180^0$ - $\widehat{A_1}$
$\widehat{C_2}$ = $180^0$ - $\widehat{C_1}$
Khi đó $\widehat{A_2}$ + $\widehat{C_2}$ = $180^0$ - $\widehat{A_1}$ + $180^0$ - $\widehat{C_1}$
<=> $\widehat{A_2}$ + $\widehat{C_2}$ = $360^0$ - ($\widehat{A_1}$ + $\widehat{C_1}$) (1)
Ta lại có $\widehat{A_1}$ + $\widehat{C_1}$ + $\widehat{B}$ + $\widehat{D}$ = $360^0$ (tổng các góc của tứ giác ABCD)
<=> $\widehat{B}$ + $\widehat{D}$ = $360^0$ - ($\widehat{A_1}$ + $\widehat{C_1}$) (2)
Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{A_2}$ + $\widehat{C_2}$ = $\widehat{B}$ + $\widehat{D}$.
Nói cách khác tổng hai góc ngoài tại các đỉnh A và C bằng tổng hai góc trong tại các đỉnh B và D (đpcm)
Giải bài 8 trang 80 SBT toán 8 tập 1.
Tứ giác ABCD có $\widehat{A}$ = $110^0$, $\widehat{B}$ = $100^0$. Các tia phân giác của các góc C và D cắt nhau ở E. Các đường phân giác của các góc ngoài tại các đỉnh C và D cắt nhau ở F. Tính $\widehat{CED}$, $\widehat{CFD}$.
Bài giải:
Ta có $\widehat{A}$ + $\widehat{B}$ + $\widehat{C}$ + $\widehat{D}$ = $360^0$ (tổng các góc của tứ giác ABCD)
<=> $110^0$ + $100^0$ + $\widehat{C}$ + $\widehat{D}$ = $360^0$
<=> $\widehat{C}$ + $\widehat{D}$ = $360^0$ - $110^0$ - $100^0$
<=> $\widehat{C}$ + $\widehat{D}$ = $150^0$
Ta có:
$\widehat{C_1}$ = $\frac{\widehat{C}}{2}$ (CE là phân giác góc C)
$\widehat{D_1}$ = $\frac{\widehat{D}}{2}$ (DE là phân giác góc D)
Nên $\widehat{C_1}$ + $\widehat{D_1}$ = $\frac{\widehat{C}}{2}$ + $\frac{\widehat{D}}{2}$
<=> $\widehat{C_1}$ + $\widehat{D_1}$ = $\frac{\widehat{C + D}}{2}$
<=> $\widehat{C_1}$ + $\widehat{D_1}$ = $\frac{150^0}{2}$ = $75^0$
Xét tam giác DEC có:
$\widehat{C_1}$ + $\widehat{D_1}$ + $\widehat{CED}$ = $180^0$ (tổng ba góc của một tam giác)
=> $\widehat{CED}$ = $180^0$ - ($\widehat{C_1}$ + $\widehat{D_1}$)
<=> $\widehat{CED}$ = $180^0$ - $75^0$
<=> $\widehat{CED}$ = $105^0$
Ta có:
CE $\perp$ CF (hai tia phân giác của góc ngoài và góc trong tại đỉnh C)
=> $\widehat{ECF}$ = $90^0$
DE $\perp$ DF (hai tia phân giác của góc ngoài và góc trong tại đỉnh D)
=> $\widehat{EDF}$ = $90^0$
Xét tứ giác DECF có:
$\widehat{EDF}$ + $\widehat{ECF}$ + $\widehat{CED}$ + $\widehat{CFD}$ = $360^0$ (tổng các góc của tứ giác)
<=> $90^0$ + $90^0$ + $105^0$ + $\widehat{CFD}$ = $360^0$
<=> $\widehat{CFD}$ = $360^0$ - ($90^0$ + $90^0$ + $105^0$)
<=> $\widehat{CFD}$ = $75^0$
Vậy $\widehat{CED}$ = $105^0$, $\widehat{CFD}$ = $75^0$.
 |
| Tính các góc CED và CFD. |
Ta có $\widehat{A}$ + $\widehat{B}$ + $\widehat{C}$ + $\widehat{D}$ = $360^0$ (tổng các góc của tứ giác ABCD)
<=> $110^0$ + $100^0$ + $\widehat{C}$ + $\widehat{D}$ = $360^0$
<=> $\widehat{C}$ + $\widehat{D}$ = $360^0$ - $110^0$ - $100^0$
<=> $\widehat{C}$ + $\widehat{D}$ = $150^0$
Ta có:
$\widehat{C_1}$ = $\frac{\widehat{C}}{2}$ (CE là phân giác góc C)
$\widehat{D_1}$ = $\frac{\widehat{D}}{2}$ (DE là phân giác góc D)
Nên $\widehat{C_1}$ + $\widehat{D_1}$ = $\frac{\widehat{C}}{2}$ + $\frac{\widehat{D}}{2}$
<=> $\widehat{C_1}$ + $\widehat{D_1}$ = $\frac{\widehat{C + D}}{2}$
<=> $\widehat{C_1}$ + $\widehat{D_1}$ = $\frac{150^0}{2}$ = $75^0$
Xét tam giác DEC có:
$\widehat{C_1}$ + $\widehat{D_1}$ + $\widehat{CED}$ = $180^0$ (tổng ba góc của một tam giác)
=> $\widehat{CED}$ = $180^0$ - ($\widehat{C_1}$ + $\widehat{D_1}$)
<=> $\widehat{CED}$ = $180^0$ - $75^0$
<=> $\widehat{CED}$ = $105^0$
Ta có:
CE $\perp$ CF (hai tia phân giác của góc ngoài và góc trong tại đỉnh C)
=> $\widehat{ECF}$ = $90^0$
DE $\perp$ DF (hai tia phân giác của góc ngoài và góc trong tại đỉnh D)
=> $\widehat{EDF}$ = $90^0$
Xét tứ giác DECF có:
$\widehat{EDF}$ + $\widehat{ECF}$ + $\widehat{CED}$ + $\widehat{CFD}$ = $360^0$ (tổng các góc của tứ giác)
<=> $90^0$ + $90^0$ + $105^0$ + $\widehat{CFD}$ = $360^0$
<=> $\widehat{CFD}$ = $360^0$ - ($90^0$ + $90^0$ + $105^0$)
<=> $\widehat{CFD}$ = $75^0$
Vậy $\widehat{CED}$ = $105^0$, $\widehat{CFD}$ = $75^0$.
Giải bài 9 trang 80 SBT toán 8 tập 1.
Chứng minh rằng trong một tứ giác, tổng hai đường chéo lớn hơn tổng hai cạnh đối.
Bài giải:
Gọi I là giao điểm của hai đường chéo AC và BD của tứ giác ABCD.
Xét tam giác AIB, ta có:
IA + IB > AB (tổng hai cạnh của một tam giác lớn hơn cạnh còn lại)
Tương tự xét tam giác CID, ta cũng có:
IC + ID > CD
Khi đó IA + IB + IC + ID > AB + CD
<=> (IA + IC) + (IB + ID) > AB + CD
<=> AC + BD > AB + CD.
Nói cách khác tổng hai đường chéo của một tứ giác lớn hơn tổng hai cạnh đối (đpcm).
Các bạn thử kiểm tra điều đó có đúng với hai cạnh đối còn lại AD và BC không nhé!
Bài giải:
 |
| Tổng hai đường chéo lớn hơn tổng hai cạnh đối. |
Gọi I là giao điểm của hai đường chéo AC và BD của tứ giác ABCD.
Xét tam giác AIB, ta có:
IA + IB > AB (tổng hai cạnh của một tam giác lớn hơn cạnh còn lại)
Tương tự xét tam giác CID, ta cũng có:
IC + ID > CD
Khi đó IA + IB + IC + ID > AB + CD
<=> (IA + IC) + (IB + ID) > AB + CD
<=> AC + BD > AB + CD.
Nói cách khác tổng hai đường chéo của một tứ giác lớn hơn tổng hai cạnh đối (đpcm).
Các bạn thử kiểm tra điều đó có đúng với hai cạnh đối còn lại AD và BC không nhé!
Giải bài 10 trang 80 SBT toán 8 tập 1.
Chứng minh rằng trong một tứ giác, tổng hai đường chéo lớn hơn nửa chu vi nhưng nhỏ hơn chu vi của tứ giác ấy.
Bài giải:
Giả sử ta có tứ giác ABCD, để dễ hình dung, ta đặt AB = a, BC = b, CD = c, DA = d.
Khi đó chu vi của tứ giác ABCD bằng a + b + c + d.
Theo bài 9 trong một tứ giác, tổng hai đường chéo lớn hơn tổng hai cạnh đối. Nên ta có:
AC + BD > AB + CD
AC + BD > BC + DA
Do đó:
AC + BD + AC + BD > AB + CD + BC + DA
<=> 2(AC + BD) > a + b + c + d
<=> AC + BD > $\frac{a + b + c + d}{2}$
Vậy trong một tứ giác, tổng hai đường chéo lớn hơn nửa chu vi của tứ giác đó. (đpcm)
Theo quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác:
- trong tam giác ABC có AC < AB + BC
- trong tam giác ADC có AC < CD + DA
Cộng vế theo vế, ta được:
AC + AC < AB + BC + CD + DA
Hay 2AC < a + b + c + d
<=> AC < $\frac{a + b + c + d}{2}$ (1)
Tương tự:
- trong tam giác ABD có BD < AB + DA
- trong tam giác CBD có BD < BC + CD
Do đó BD + BD < AB + DA + BC + CD
<=> 2BD < a + b + c + d
<=> BD < $\frac{a + b + c + d}{2}$ (2)
Cộng (1) và (2) vế theo vế ta được:
AC + BD < $\frac{a + b + c + d}{2}$ + $\frac{a + b + c + d}{2}$
<=> AC + BD < $\frac{2(a + b + c + d)}{2}$
<=> AC + BD < a + b + c + d.
Vậy trong một tứ giác, tổng hai đường chéo nhỏ hơn chu vi của tứ giác ấy. (đpcm)
Giả sử ta có tứ giác ABCD, để dễ hình dung, ta đặt AB = a, BC = b, CD = c, DA = d.
Khi đó chu vi của tứ giác ABCD bằng a + b + c + d.
Theo bài 9 trong một tứ giác, tổng hai đường chéo lớn hơn tổng hai cạnh đối. Nên ta có:
AC + BD > AB + CD
AC + BD > BC + DA
Do đó:
AC + BD + AC + BD > AB + CD + BC + DA
<=> 2(AC + BD) > a + b + c + d
<=> AC + BD > $\frac{a + b + c + d}{2}$
Vậy trong một tứ giác, tổng hai đường chéo lớn hơn nửa chu vi của tứ giác đó. (đpcm)
 |
| Tổng hai đường chéo nhỏ hơn chu vi. |
- trong tam giác ABC có AC < AB + BC
- trong tam giác ADC có AC < CD + DA
Cộng vế theo vế, ta được:
AC + AC < AB + BC + CD + DA
Hay 2AC < a + b + c + d
<=> AC < $\frac{a + b + c + d}{2}$ (1)
Tương tự:
- trong tam giác ABD có BD < AB + DA
- trong tam giác CBD có BD < BC + CD
Do đó BD + BD < AB + DA + BC + CD
<=> 2BD < a + b + c + d
<=> BD < $\frac{a + b + c + d}{2}$ (2)
Cộng (1) và (2) vế theo vế ta được:
AC + BD < $\frac{a + b + c + d}{2}$ + $\frac{a + b + c + d}{2}$
<=> AC + BD < $\frac{2(a + b + c + d)}{2}$
<=> AC + BD < a + b + c + d.
Vậy trong một tứ giác, tổng hai đường chéo nhỏ hơn chu vi của tứ giác ấy. (đpcm)
EmoticonEmoticon