Giải bài tập góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung.
Định lí về góc nội tiếp, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung, hệ quả về góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung, trường hợp đồng dạng thứ ba của hai tam giác... là những kiến thức ta cần nắm vững để vận dụng giải những bài tập về góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung ngay sau đây.
Bài giải:
Ta có:
$\widehat{PBT}$ = $\frac{1}{2}$sđ⁀PmB (định lí về góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung)
$\widehat{PAO}$ = $\frac{1}{2}$sđ⁀PmB (định lí góc nội tiếp)
=> $\widehat{PBT}$ = $\widehat{PAO}$. (1)
Ta lại có OA = OP (cùng bằng bán kính)
Nên tam giác AOP cân tại O
=> $\widehat{PAO}$ = $\widehat{APO}$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{PBT}$ = $\widehat{APO}$ (đpcm).
Bài giải:
Ta có:
$\widehat{PAB}$ = $\frac{1}{2}$sđ⁀AmB (định lí về góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung)
$\widehat{AQB}$ = $\frac{1}{2}$sđ⁀AmB (định lí góc nội tiếp)
=> $\widehat{PAB}$ = $\widehat{AQB}$. (1)
Ta lại có:
$\widehat{BPx}$ = $\frac{1}{2}$sđ⁀PB (định lí về góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung)
$\widehat{PAB}$ = $\frac{1}{2}$sđ⁀PB (định lí góc nội tiếp)
=> $\widehat{PAB}$ = $\widehat{BPx}$. (2)
Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{AQB}$ = $\widehat{BPx}$
Mà $\widehat{AQB}$ và $\widehat{BPx}$ ở vị trí so le trong.
Nên AC // Px
Nói cách khác đường thẳng AQ song song với tiếp tuyến tại P của đường tròn (O) (đpcm).
Bài giải:
Trong đường tròn (O), ta có:
$\widehat{DAB}$ = $\widehat{ACB}$ (góc tạo bởi tia tiếp tuyến AD và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung AB)
Trong đường tròn (O'), ta có:
$\widehat{CAB}$ = $\widehat{ADB}$ (góc tạo bởi tia tiếp tuyến AC và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung AB)
Xét hai tam giác ABC và DBA có:
$\widehat{ACB}$ = $\widehat{DAB}$
và $\widehat{CAB}$ = $\widehat{ADB}$
Vậy $\Delta$ ABC $\sim$ $\Delta$ DBA. (g-g)
Suy ra $\widehat{CBA}$ = $\widehat{DBA}$. (đpcm)
Nếu góc BAx (với đỉnh A nằm trên đường tròn, một cạnh chứa dây cung AB), có số đo bằng nửa số đo của cung AB căng dây đó và cung này nằm bên trong góc đó thì cạnh Ax là một tiếp tuyến của đường tròn (h.29).
Gợi ý: Có thể chứng minh trực tiếp hoặc chứng minh bằng phản chứng.
Bài giải:
Với yêu cầu của đề ta sẽ chứng minh Ax là tiếp tuyến với đường tròn (O).
Vẽ OH $\perp$ AB. Khi đó $\widehat{AOH}$ = $\frac{1}{2}$sđ⁀AB
Ta cũng có $\widehat{BAx}$ = $\frac{1}{2}$sđ⁀AB (gt)
=> $\widehat{AOH}$ = $\widehat{BAx}$
Xét tam giác vuông AOH có:
$\widehat{A_1}$ + $\widehat{O_1}$ = $90^0$
Hay $\widehat{A_1}$ + $\widehat{BAx}$ = $90^0$
Điều đó chứng tỏ AO $\perp$ Ax tại A.
Suy ra Ax là tiếp tuyến của (O) tại A. (đpcm)
Mỗi bài toán có nhiều cách giải, đừng quên chia sẻ cách giải hoặc ý kiến đóng góp của bạn ở khung nhận xét bên dưới. Xin cảm ơn!
Giải bài 27 trang 79 sgk hình học 9 tập 2.
Cho đường tròn tâm O, đường kính AB. Lấy điểm P khác A và B trên đường tròn. Gọi T là giao điểm của AP với tiếp tuyến tại B của đường tròn. Chứng minh $\widehat{APO}$ = $\widehat{PBT}$.Bài giải:
 |
| BT là tiếp tuyến của đường tròn. |
$\widehat{PBT}$ = $\frac{1}{2}$sđ⁀PmB (định lí về góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung)
$\widehat{PAO}$ = $\frac{1}{2}$sđ⁀PmB (định lí góc nội tiếp)
=> $\widehat{PBT}$ = $\widehat{PAO}$. (1)
Ta lại có OA = OP (cùng bằng bán kính)
Nên tam giác AOP cân tại O
=> $\widehat{PAO}$ = $\widehat{APO}$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{PBT}$ = $\widehat{APO}$ (đpcm).
Giải bài 28 trang 79 sgk hình học 9 tập 2.
Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại A và B. Tiếp tuyến tại A của đường tròn (O') cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai P. Tia PB cắt đường tròn (O') tại Q. Chứng minh đường thẳng AQ song song với tiếp tuyến tại P của đường tròn (O).Bài giải:
Ta có:
$\widehat{PAB}$ = $\frac{1}{2}$sđ⁀AmB (định lí về góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung)
$\widehat{AQB}$ = $\frac{1}{2}$sđ⁀AmB (định lí góc nội tiếp)
=> $\widehat{PAB}$ = $\widehat{AQB}$. (1)
Ta lại có:
$\widehat{BPx}$ = $\frac{1}{2}$sđ⁀PB (định lí về góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung)
$\widehat{PAB}$ = $\frac{1}{2}$sđ⁀PB (định lí góc nội tiếp)
=> $\widehat{PAB}$ = $\widehat{BPx}$. (2)
Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{AQB}$ = $\widehat{BPx}$
Mà $\widehat{AQB}$ và $\widehat{BPx}$ ở vị trí so le trong.
Nên AC // Px
Nói cách khác đường thẳng AQ song song với tiếp tuyến tại P của đường tròn (O) (đpcm).
Giải bài 29 trang 79 sgk hình học 9 tập 2.
Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại A và B. Tiếp tuyến kẻ từ A đối với đường tròn (O') cắt (O) tại C và đối với đường tròn (O) cắt (O') tại D. Chứng minh $\widehat{CBA}$ = $\widehat{DBA}$.Bài giải:
 |
| AD là tiếp tuyến của đường tròn (O) |
Trong đường tròn (O), ta có:
$\widehat{DAB}$ = $\widehat{ACB}$ (góc tạo bởi tia tiếp tuyến AD và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung AB)
Trong đường tròn (O'), ta có:
$\widehat{CAB}$ = $\widehat{ADB}$ (góc tạo bởi tia tiếp tuyến AC và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung AB)
Xét hai tam giác ABC và DBA có:
$\widehat{ACB}$ = $\widehat{DAB}$
và $\widehat{CAB}$ = $\widehat{ADB}$
Vậy $\Delta$ ABC $\sim$ $\Delta$ DBA. (g-g)
Suy ra $\widehat{CBA}$ = $\widehat{DBA}$. (đpcm)
Giải bài 30 trang 79 sgk hình học 9 tập 2.
Chứng minh định lí đảo của định lí về góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung, cụ thể là:Nếu góc BAx (với đỉnh A nằm trên đường tròn, một cạnh chứa dây cung AB), có số đo bằng nửa số đo của cung AB căng dây đó và cung này nằm bên trong góc đó thì cạnh Ax là một tiếp tuyến của đường tròn (h.29).
Gợi ý: Có thể chứng minh trực tiếp hoặc chứng minh bằng phản chứng.
Bài giải:
 |
| Chứng minh Ax là tiếp tuyến của đường tròn (O). |
Vẽ OH $\perp$ AB. Khi đó $\widehat{AOH}$ = $\frac{1}{2}$sđ⁀AB
Ta cũng có $\widehat{BAx}$ = $\frac{1}{2}$sđ⁀AB (gt)
=> $\widehat{AOH}$ = $\widehat{BAx}$
Xét tam giác vuông AOH có:
$\widehat{A_1}$ + $\widehat{O_1}$ = $90^0$
Hay $\widehat{A_1}$ + $\widehat{BAx}$ = $90^0$
Điều đó chứng tỏ AO $\perp$ Ax tại A.
Suy ra Ax là tiếp tuyến của (O) tại A. (đpcm)
Mỗi bài toán có nhiều cách giải, đừng quên chia sẻ cách giải hoặc ý kiến đóng góp của bạn ở khung nhận xét bên dưới. Xin cảm ơn!
EmoticonEmoticon