Giải bài luyện tập biến đổi các biểu thức hữu tỉ.
Giải bài tập 50 trang 58 SGK đại số 8 tập 1
Thực hiện các phép tính:a) ($\frac{x}{x + 1}$ + 1) : (1 - $\frac{3x^2}{1 - x^2}$) b) ($x^2$ - 1).($\frac{1}{x - 1}$ - $\frac{1}{x + 1}$ - 1)
Bài giải:
a) ($\frac{x}{x + 1}$ + 1) : (1 - $\frac{3x^2}{1 - x^2}$) = $\frac{2x + 1}{x + 1}$ : $\frac{1 - 4x^2}{1 - x^2}$ = $\frac{(2x + 1)(1 + x)(1 - x)}{(x + 1)(1 - 2x)(1 + 2x)}$ = $\frac{1 - x}{1 - 2x}$
b) ($x^2$ - 1).($\frac{1}{x - 1}$ - $\frac{1}{x + 1}$ - 1) = ($x^2$ - 1).[$\frac{x + 1 - (x - 1) - (x + 1)(x - 1)}{(x - 1)(x + 1)}$]
= $x^2$ - 1.$\frac{3 - x^2}{x^2 - 1}$ = 3 - $x^2$
Giải bài tập 51 trang 58 SGK đại số 8 tập 1
Làm các phép tính sau:
a) ($\frac{x^2}{y^2}$ + $\frac{y}{x}$) : ($\frac{x}{y^2}$ - $\frac{1}{y}$ + $\frac{1}{x}$)
b) ($\frac{1}{x^2 + 4x + 4}$ - $\frac{1}{x^2 - 4x + 4}$) : ($\frac{1}{x + 2}$ + $\frac{1}{x - 2}$)
Bài giải:
a) ($\frac{x^2}{y^2}$ + $\frac{y}{x}$) : ($\frac{x}{y^2}$ - $\frac{1}{y}$ + $\frac{1}{x}$) = $\frac{x^3 + y^3}{xy^2}$ : $\frac{x^2 - xy + y^2}{xy^2}$ = $\frac{x^3 + y^3}{xy^2}$.$\frac{xy^2}{x^2 - xy + y^2}$
= $\frac{(x + y)(x^2 - xy + y^2}{x^2 - xy + y^2}$ = x + y
b) ($\frac{1}{x^2 + 4x + 4}$ - $\frac{1}{x^2 - 4x + 4}$) : ($\frac{1}{x + 2}$ + $\frac{1}{x - 2}$) =
Giải bài tập 52 trang 58 SGK đại số 8 tập 1
Chứng tỏ rằng với x $\neq$ 0 và x $\neq$ $\pm$ a (a là một số nguyên) giá trị của biểu thức (a - $\frac{x^2 + a^2}{x + a}$).($\frac{2a}{x}$ - $\frac{4a}{x - a}$) là một số chẵn.
Bài giải:
Ta có: (a - $\frac{x^2 + a^2}{x + a}$).($\frac{2a}{x}$ - $\frac{4a}{x - a}$) = [$\frac{a(x + a) - (x^2 + a^2)}{x + a}$].[$\frac{2a(x - a) - 4ax}{x(x - a)}$] = $\frac{ax + a^2 - x^2 - a^2)}{x + a}$.$\frac{2ax - 2a^2 - 4ax}{x(x - a)}$ = $\frac{ax - x^2}{x + a}$.$\frac{-2ax - 2a^2}{x(x - a)}$ = $\frac{2ax(x - a)(x + a)}{x(x + a)(x - a)}$ = 2a
Ta lại có a là một số nguyên nên 2a là một số chẵn
Do đó với x $\neq$ 0 và x $\neq$ $\pm$ a thì giá trị của biểu thức (a - $\frac{x^2 + a^2}{x + a}$).($\frac{2a}{x}$ - $\frac{4a}{x - a}$) là một số chẵn.
Ta có: (a - $\frac{x^2 + a^2}{x + a}$).($\frac{2a}{x}$ - $\frac{4a}{x - a}$) = [$\frac{a(x + a) - (x^2 + a^2)}{x + a}$].[$\frac{2a(x - a) - 4ax}{x(x - a)}$] = $\frac{ax + a^2 - x^2 - a^2)}{x + a}$.$\frac{2ax - 2a^2 - 4ax}{x(x - a)}$ = $\frac{ax - x^2}{x + a}$.$\frac{-2ax - 2a^2}{x(x - a)}$ = $\frac{2ax(x - a)(x + a)}{x(x + a)(x - a)}$ = 2a
Ta lại có a là một số nguyên nên 2a là một số chẵn
Do đó với x $\neq$ 0 và x $\neq$ $\pm$ a thì giá trị của biểu thức (a - $\frac{x^2 + a^2}{x + a}$).($\frac{2a}{x}$ - $\frac{4a}{x - a}$) là một số chẵn.
Giải bài tập 53 trang 58 SGK đại số 8 tập 1
a) Biến đổi mỗi biểu thức sau thành một phân thức đại số:
1 + $\frac{1}{x}$ ; 1 + $\frac{1}{1 + \frac{1}{x}}$ ; 1 + $\frac{1}{1 + \frac{1}{ 1 + \frac{1}{x}}}$
b) Em hãy dự đoán kết quả của phép biến đổi biểu thức:
1 + $\frac{1}{1 + \frac{1}{ 1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{x}}}}}$
1 + $\frac{1}{1 + \frac{1}{ 1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{x}}}}}$
thành phân thức đại số rồi kiểm tra lại dự đoán đó.
Bài giải:
1 + $\frac{1}{x}$ = $\frac{x + 1}{x}$ (1)
1 + $\frac{1}{1 + \frac{1}{x}}$ = 1 + $\frac{1}{\frac{x + 1}{x}}$ = 1 + $\frac{x}{x + 1}$ = $\frac{x + 1 + x}{x + 1}$ = $\frac{2x + 1}{x + 1}$ (2)
1 + $\frac{1}{1 + \frac{1}{ 1 + \frac{1}{x}}}$ = 1 + $\frac{1}{1 + \frac{1}{\frac{x + 1}{x}}}$ = 1 + $\frac{1}{1 + \frac{x}{x + 1}}$ = 1 + $\frac{1}{\frac{x + 1 + x}{x + 1}}$
= 1 + $\frac{x + 1}{2x + 1}$ = $\frac{3x + 2}{2x + 1}$ (3)
b) Dự đoán kết quả của phép biến đổi:
Theo kết quả của câu a) thì các phân thức (1), (2), (3) thu được có tử thức bằng tổng của mẫu thức và tử thức, còn mẫu thức chính là tử thức của phân thức trước đó. Với phân tích trên ta có kết quả của phép biến đổi sẽ là $\frac{8x + 3}{5x + 3}$
Ta thử tính xem:
1 + $\frac{1}{1 + \frac{1}{ 1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{x}}}}}$ = 1 + $\frac{1}{1 + \frac{2x + 1}{3x + 2}}$ = 1 + $\frac{1}{\frac{5x + 3}{3x + 2}}$ = 1 + $\frac{3x + 2}{5x + 3}$ = $\frac{8x + 3}{5x + 3}$
1 + $\frac{1}{x}$ = $\frac{x + 1}{x}$ (1)
1 + $\frac{1}{1 + \frac{1}{x}}$ = 1 + $\frac{1}{\frac{x + 1}{x}}$ = 1 + $\frac{x}{x + 1}$ = $\frac{x + 1 + x}{x + 1}$ = $\frac{2x + 1}{x + 1}$ (2)
1 + $\frac{1}{1 + \frac{1}{ 1 + \frac{1}{x}}}$ = 1 + $\frac{1}{1 + \frac{1}{\frac{x + 1}{x}}}$ = 1 + $\frac{1}{1 + \frac{x}{x + 1}}$ = 1 + $\frac{1}{\frac{x + 1 + x}{x + 1}}$
= 1 + $\frac{x + 1}{2x + 1}$ = $\frac{3x + 2}{2x + 1}$ (3)
b) Dự đoán kết quả của phép biến đổi:
Theo kết quả của câu a) thì các phân thức (1), (2), (3) thu được có tử thức bằng tổng của mẫu thức và tử thức, còn mẫu thức chính là tử thức của phân thức trước đó. Với phân tích trên ta có kết quả của phép biến đổi sẽ là $\frac{8x + 3}{5x + 3}$
Ta thử tính xem:
1 + $\frac{1}{1 + \frac{1}{ 1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{x}}}}}$ = 1 + $\frac{1}{1 + \frac{2x + 1}{3x + 2}}$ = 1 + $\frac{1}{\frac{5x + 3}{3x + 2}}$ = 1 + $\frac{3x + 2}{5x + 3}$ = $\frac{8x + 3}{5x + 3}$
Giải bài tập 54 trang 59 SGK đại số 8 tập 1
Tìm các giá trị của x để giá trị của các phân thức sau được xác định:
a) $\frac{3x + 2}{2x^2 - 6x}$ b) $\frac{5}{x^2 - 3}$
a) $\frac{3x + 2}{2x^2 - 6x}$ b) $\frac{5}{x^2 - 3}$
Bài giải:
a) Giá trị của phân thức $\frac{3x + 2}{2x^2 - 6x}$ xác định khi:
2$x^2$ - 6x $\neq$ 0 <=> 2x(x - 3) $\neq$ 0 => x $\neq$ 0 và x $\neq$ 3
b) Giá trị của phân thức $\frac{5}{x^2 - 3}$ xác định khi:
$x^2$ - 3 $\neq$ 0 <=> (x - $\sqrt{3}$).(x + $\sqrt{3}$) $\neq$ 0 <=> x $\neq$ $\sqrt{3}$ và x $\neq$ -$\sqrt{3}$
a) Giá trị của phân thức $\frac{3x + 2}{2x^2 - 6x}$ xác định khi:
2$x^2$ - 6x $\neq$ 0 <=> 2x(x - 3) $\neq$ 0 => x $\neq$ 0 và x $\neq$ 3
b) Giá trị của phân thức $\frac{5}{x^2 - 3}$ xác định khi:
$x^2$ - 3 $\neq$ 0 <=> (x - $\sqrt{3}$).(x + $\sqrt{3}$) $\neq$ 0 <=> x $\neq$ $\sqrt{3}$ và x $\neq$ -$\sqrt{3}$
Giải bài tập 55 trang 59 SGK đại số 8 tập 1
Cho phân thức: $\frac{x^2 + 2x + 1}{x^2 - 1}$
a) Với giá trị nào của x thì giá trị của phân thức được xác định?
b) Chứng tỏ phân thức rút gọn của phân thức đã cho là $\frac{x + 1}{x - 1}$
c) Để tính giá trị của phân thức đã cho, bạn Thắng đã làm như sau:
- Với x = 2 phân thức đã cho có giá trị là $\frac{2 + 1}{2 - 1}$ = 3
- Với x = -1 phân thức đã cho có giá trị là $\frac{-1 + 1}{-1 - 1}$ = 0
Em có đồng ý không? Nếu không em hãy chỉ ra chỗ mà em cho là sai.
Theo em với những giá trị nào của biến thì có thể tính được giá trị của phân thức đã cho bằng cách tính giá trị của phân số rút gọn?
Bài giải:
a) Giá trị của phân thức $\frac{x^2 + 2x + 1}{x^2 - 1}$ xác định khi:
$x^2$ - 1 $\neq$ 0 <=> x $\neq$ 1 và x $\neq$ -1
b) Ta có:
$\frac{x^2 + 2x + 1}{x^2 - 1}$ = $\frac{(x + 1)^2}{(x - 1)(x + 1)}$ = $\frac{x + 1}{x - 1}$
c) Với x = 2 giá trị của phân thức đã cho được xác định nên giá trị của phân thức tại x = 2 là $\frac{2 + 1}{2 - 1}$ = 3, bạn Thắng đã làm đúng.
Nhưng với x = -1 giá trị của phân thức không xác định nên không thể tính được giá trị của phân thức đã cho như bạn Thắng.
Khi x $\neq$ $\pm$ 1, giá trị phân số rút gọn được xác định nên với mọi biến x $\neq$ $\pm$ 1 thì ta có thể tính được giá trị của phân thức đã cho bằng cách tính giá trị của phân thức rút gọn.
a) Giá trị của phân thức $\frac{x^2 + 2x + 1}{x^2 - 1}$ xác định khi:
$x^2$ - 1 $\neq$ 0 <=> x $\neq$ 1 và x $\neq$ -1
b) Ta có:
$\frac{x^2 + 2x + 1}{x^2 - 1}$ = $\frac{(x + 1)^2}{(x - 1)(x + 1)}$ = $\frac{x + 1}{x - 1}$
c) Với x = 2 giá trị của phân thức đã cho được xác định nên giá trị của phân thức tại x = 2 là $\frac{2 + 1}{2 - 1}$ = 3, bạn Thắng đã làm đúng.
Nhưng với x = -1 giá trị của phân thức không xác định nên không thể tính được giá trị của phân thức đã cho như bạn Thắng.
Khi x $\neq$ $\pm$ 1, giá trị phân số rút gọn được xác định nên với mọi biến x $\neq$ $\pm$ 1 thì ta có thể tính được giá trị của phân thức đã cho bằng cách tính giá trị của phân thức rút gọn.
Giải bài tập 56 trang 59 SGK đại số 8 tập 1
Cho phân thức $\frac{3x^2 + 6x + 12}{x^3 - 8}$
a) Với điều kiện nào của x thì giá trị của phân thức được xác định?
b) Rút gọn phân thức
c) Em có biết trên 1$cm^2$ bề mặt da của em có bao nhiêu con vi khuẩn không? Tính giá trị của biểu thức đã cho tại x = $\frac{4001}{2000}$ em sẽ tìm được câu trả lời thật đáng sợ (tuy nhiên trong số đó chỉ có 20% là vi khuẩn có hại)
Bài giải:
a) Giá trị của phân thức $\frac{3x^2 + 6x + 12}{x^3 - 8}$ được xác định khi:
$x^3$ - 8 $\neq$ 0 <=> (x - 2).($x^2$ + 2x + 4) $\neq$ 0 <=> x - 2 $\neq$ 0 <=> x $\neq$ 2
b) Rút gọn:
$\frac{3x^2 + 6x + 12}{x^3 - 8}$ = $\frac{3(x^2 + 2x + 4)}{(x - 2).($x^2$ + 2x + 4)}$ = $\frac{3}{x - 2}$
c) Ta có $\frac{4001}{2000}$ $\neq$ 2 nên phân thức rút gọn được xác định và giá trị của phân thức tại x = $\frac{4001}{2000}$ là:
a) Giá trị của phân thức $\frac{3x^2 + 6x + 12}{x^3 - 8}$ được xác định khi:
$x^3$ - 8 $\neq$ 0 <=> (x - 2).($x^2$ + 2x + 4) $\neq$ 0 <=> x - 2 $\neq$ 0 <=> x $\neq$ 2
b) Rút gọn:
$\frac{3x^2 + 6x + 12}{x^3 - 8}$ = $\frac{3(x^2 + 2x + 4)}{(x - 2).($x^2$ + 2x + 4)}$ = $\frac{3}{x - 2}$
c) Ta có $\frac{4001}{2000}$ $\neq$ 2 nên phân thức rút gọn được xác định và giá trị của phân thức tại x = $\frac{4001}{2000}$ là:
$\frac{3}{\frac{4001}{2000} - 2}$ = $\frac{6000}{4001 - 4000}$ = 6000
Vậy trên 1$cm^2$ bề mặt da của chúng ta có 6000 con vi khuẩn.
Mỗi bài toán có nhiều cách giải, đừng quên chia sẻ cách giải hoặc ý kiến đóng góp của bạn ở khung nhận xét bên dưới. Xin cảm ơn!
Vậy trên 1$cm^2$ bề mặt da của chúng ta có 6000 con vi khuẩn.
Xem bài trước: Giải bài tập biến đổi các biểu thức hữu tỉ trang 57
EmoticonEmoticon