[Toán 9] Chứng minh AD.AB = AE.AC
Ngày 26/8/2017 bạn Henji Hatori gửi bài tập
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, có AB = 8, BC = 10. HE vuông góc AC, HD vuông góc AB.
a) Tính BH, CH
b) Cm AD.AB = AE.AC
c) Tính DE
d) Cho góc HAC = 30 độ, HC = 3cm. Tính AH, AC.
Trả lời cho bạn:
Trước khi giải bài này, bạn thử xem lại những kiến thức đã học về:
- Hệ thức lượng trong tam giác vuông
- Hình chữ nhật
- Tỉ số lượng giác của góc nhọn.
a) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC, ta có:
$AB^2$ = BC.BH => BH = $\frac{AB^2}{BC}$ = $\frac{8^2}{10}$ = $\frac{64}{10}$ = 6,4
Ta có BC = BH + HC
Suy ra HC = BC - BH = 10 - 6,4 = 3,6
Vậy BH = 6,4cm và CH = 3,6cm.
b) Ta có OE = OA (vì ADHE là hình chữ nhật)
Nên AOE là tam giác cân tại O
Suy ra $\widehat{OAE}$ = $\widehat{OEA}$ (1)
Ta cũng có $\widehat{OAE}$ = $\widehat{B}$ (2) (cùng phụ với góc C)
Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{OEA}$ = $\widehat{B}$
Xét hai tam giác ABC và AED có:
$\widehat{A}$ chung
$\widehat{OEA}$ = $\widehat{B}$ (cmt)
Vậy $\Delta$ ABC $\sim$ $\Delta$ AED (g-g)
Suy ra $\frac{AB}{AE}$ = $\frac{AC}{AD}$
<=> AD.AB = AE.AC (đpcm)
c) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC, ta có:
$AH^2$ = BH.CH = 6,4 . 3,6 = 23,04
=> AH = $\sqrt{23,04}$ = 4,8
Ta có ADHE là hình chữ nhật nên hai đường chéo AH và DE bằng nhau.
Do đó DE = AH = 4,8 cm.
d) Xét tam giác AHC vuông tại H, ta có:
sin $\widehat{HAC}$ = $\frac{HC}{AC}$
=> AC = $\frac{HC}{sin \widehat{HAC} }$
<=> AC = $\frac{3}{sin 30^0 }$
<=> AC = $\frac{3}{\frac{1}{2} }$
<=> AC = 6
cos $30^0$ = $\frac{AH}{AC}$ => AH = AC.cos $30^0$ = 6.$\frac{\sqrt{3}}{2}$ = 3$\sqrt{3}$
Vậy AC = 6cm, AH = 3$\sqrt{3}$cm
Mỗi bài toán có nhiều cách giải, đừng quên chia sẻ cách giải hoặc ý kiến đóng góp của bạn ở khung nhận xét bên dưới. Xin cảm ơn!
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, có AB = 8, BC = 10. HE vuông góc AC, HD vuông góc AB.
a) Tính BH, CH
b) Cm AD.AB = AE.AC
c) Tính DE
d) Cho góc HAC = 30 độ, HC = 3cm. Tính AH, AC.
Trả lời cho bạn:
Trước khi giải bài này, bạn thử xem lại những kiến thức đã học về:
- Hệ thức lượng trong tam giác vuông
- Hình chữ nhật
- Tỉ số lượng giác của góc nhọn.
a) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC, ta có:
$AB^2$ = BC.BH => BH = $\frac{AB^2}{BC}$ = $\frac{8^2}{10}$ = $\frac{64}{10}$ = 6,4
Ta có BC = BH + HC
Suy ra HC = BC - BH = 10 - 6,4 = 3,6
Vậy BH = 6,4cm và CH = 3,6cm.
b) Ta có OE = OA (vì ADHE là hình chữ nhật)
Nên AOE là tam giác cân tại O
Suy ra $\widehat{OAE}$ = $\widehat{OEA}$ (1)
Ta cũng có $\widehat{OAE}$ = $\widehat{B}$ (2) (cùng phụ với góc C)
Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{OEA}$ = $\widehat{B}$
Xét hai tam giác ABC và AED có:
$\widehat{A}$ chung
$\widehat{OEA}$ = $\widehat{B}$ (cmt)
Vậy $\Delta$ ABC $\sim$ $\Delta$ AED (g-g)
Suy ra $\frac{AB}{AE}$ = $\frac{AC}{AD}$
<=> AD.AB = AE.AC (đpcm)
 |
| Tam giác ABC vuông tại A. |
c) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC, ta có:
$AH^2$ = BH.CH = 6,4 . 3,6 = 23,04
=> AH = $\sqrt{23,04}$ = 4,8
Ta có ADHE là hình chữ nhật nên hai đường chéo AH và DE bằng nhau.
Do đó DE = AH = 4,8 cm.
d) Xét tam giác AHC vuông tại H, ta có:
sin $\widehat{HAC}$ = $\frac{HC}{AC}$
=> AC = $\frac{HC}{sin \widehat{HAC} }$
<=> AC = $\frac{3}{sin 30^0 }$
<=> AC = $\frac{3}{\frac{1}{2} }$
<=> AC = 6
cos $30^0$ = $\frac{AH}{AC}$ => AH = AC.cos $30^0$ = 6.$\frac{\sqrt{3}}{2}$ = 3$\sqrt{3}$
Vậy AC = 6cm, AH = 3$\sqrt{3}$cm
Mỗi bài toán có nhiều cách giải, đừng quên chia sẻ cách giải hoặc ý kiến đóng góp của bạn ở khung nhận xét bên dưới. Xin cảm ơn!
EmoticonEmoticon