Giải SBT căn thức bậc hai và hằng đẳng thức (P1)

Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức $\sqrt{A^2}$ = $\left | A \right |$ tương đối rắc rối. Những bài tập trong SBT về căn thức bậc hai thực sự là một thử thách. Nhưng không vì thế mà bỏ qua, hãy chậm rãi hoàn thành từng bài tập một, cảm giác hài lòng sẽ nâng bước bạn!
 

Giải bài 12 trang 7 SBT toán 9 tập 1.

Tìm x để các căn thức sau có nghĩa:
a) $\sqrt{-2x + 3}$            b) $\sqrt{\frac{2}{x^2}}$         c) $\sqrt{\frac{4}{x + 3}}$             d) $\sqrt{\frac{-5}{x^2 + 6}}$.
Bài giải:
a) $\sqrt{-2x + 3}$ có nghĩa khi và chỉ khi -2x + 3 $\geq$ 0 <=> -2x $\geq$ - 3 <=> x $\leq$ $\frac{3}{2}$.
b) $\sqrt{\frac{2}{x^2}}$ có nghĩa khi và chỉ khi $\frac{2}{x^2}$ $\geq$ 0
Mà $\frac{2}{x^2}$ $\geq$ 0 với mọi x $\neq$ 0.
Vậy $\sqrt{\frac{2}{x^2}}$ có nghĩa khi x $\neq$ 0.
c) $\sqrt{\frac{4}{x + 3}}$ có nghĩa khi và chỉ khi $\frac{4}{x + 3}$ $\geq$ 0
Vì 4 > 0 nên $\frac{4}{x + 3}$ $\geq$ 0 khi và chỉ khi x + 3 > 0 <=> x > -3
Vậy với x > -3 thì $\sqrt{\frac{4}{x + 3}}$ có nghĩa.
d) Xét phân thức $\frac{-5}{x^2 + 6}$ $\geq$ 0 ta thấy:
$x^2$ $\geq$ 0 với mọi x nên $x^2$ + 6 > 0 với mọi x.
Suy ra $\frac{-5}{x^2 + 6}$ < 0 với mọi x.
Do đó không tồn tại giá trị nào của x để $\sqrt{\frac{-5}{x^2 + 6}}$ có nghĩa.

Giải bài 13 trang 7 SBT toán 9 tập 1.

Rút gọn rồi tính:

a) 5$\sqrt{(-2)^4}$           b) -4$\sqrt{(-3)^6}$            c) $\sqrt{\sqrt{(-5)^8}}$         d) 2$\sqrt{(-5)^6}$ + 3$\sqrt{(-2)^8}$.

Bài giải:
a) 5$\sqrt{(-2)^4}$ = 5$\sqrt{[(-2)^2]^2}$ = 5.$\left | (-2)^2 \right |$ = 5.4 = 20
b) -4$\sqrt{(-3)^6}$ = -4$\sqrt{[(-3)^3]^2}$ = -4.$\left | (-3)^3 \right |$ = -4.27 = -108.
c) $\sqrt{\sqrt{(-5)^8}}$ = $\sqrt{\sqrt{[(-5)^4]^2}}$ = $\sqrt{(-5)^4}$ = $\sqrt{[(-5)^2]^2}$ = $\left | (-5)^2 \right |$ = 25.
d) 2$\sqrt{(-5)^6}$ + 3$\sqrt{(-2)^8}$ =
 2$\sqrt{[(-5)^3]^2}$ + 3$\sqrt{[(-2)^4]^2}$ = 2$\left | (-5)^3 \right |$ + 3$\left | (-2)^4 \right |$ = 2.125 + 3.16 = 250 + 48 = 298.

Giải bài 14 trang 7 SBT toán 9 tập 1.

Rút gọn các biểu thức sau:

a) $\sqrt{(4 + \sqrt{2})^2}$              b) $\sqrt{(3 - \sqrt{3})^2}$        c) $\sqrt{(4 - \sqrt{17})^2}$          d) 2$\sqrt{3}$ + $\sqrt{(2 - \sqrt{3})^2}$.

Bài giải:
a) $\sqrt{(4 + \sqrt{2})^2}$ = $\left | 4 + \sqrt{2} \right |$ = 4 + $\sqrt{2}$
b) $\sqrt{(3 - \sqrt{3})^2}$ = $\left | 3 - \sqrt{3} \right |$ = 3 - $\sqrt{3}$
c) $\sqrt{(4 - \sqrt{17})^2}$ = $\left | 4 - \sqrt{17} \right |$ = -(4 - ($\sqrt{17}$) = $\sqrt{17}$ - 4.
d) 2$\sqrt{3}$ + $\sqrt{(2 - \sqrt{3})^2}$ = 2$\sqrt{3}$ + $\left | 2 - \sqrt{3} \right |$ = 2$\sqrt{3}$ + 2 - $\sqrt{3}$ = $\sqrt{3}$ + 2.

Giải bài 15 trang 7 SBT toán 9 tập 1.

Chứng minh:

a) 9 + 4$\sqrt{5}$ = $(\sqrt{5} + 2)^2$            b)  $\sqrt{9 - 4\sqrt{5}}$ - $\sqrt{5}$ = -2        

c) $(4 - \sqrt{7})^2$ = 23 - 8$\sqrt{7}$               d) $\sqrt{23 + 8\sqrt{7}}$ - $\sqrt{7}$ = 4.

Bài giải:
a) 9 + 4$\sqrt{5}$ = $(\sqrt{5} + 2)^2$
Ta có VT = 9 + 4$\sqrt{5}$
<=> VT = 5 + 4 + 2.2$\sqrt{5}$
<=> VT = $(\sqrt{5})^2$ + 2.2$\sqrt{5}$ + $2^2$
<=> VT = $(\sqrt{5} + 2)^2$
<=> VT = VP (đpcm).
p/s: Thường thì với bài này các bạn sẽ biến đổi VP thành VT, cách đó thường ưu tiên hơn khi bị ràng buộc về mặt thời gian, còn nếu thong thả, hãy thử thách với cách không ai chọn, để tự rèn luyện mình!

b)  $\sqrt{4 - 9\sqrt{5}}$ - $\sqrt{5}$ = -2
Ta có VT = $\sqrt{9 - 4\sqrt{5}}$ - $\sqrt{5}$
<=> VT = $\sqrt{5 + 4 - 2.2\sqrt{5}}$ - $\sqrt{5}$
<=> VT = $\sqrt{(\sqrt{5})^2 - 2.2\sqrt{5} + 2^2}$ - $\sqrt{5}$
<=> VT = $\sqrt{(\sqrt{5} - 2)^2}$ - $\sqrt{5}$.
<=> VT = $\left | \sqrt{5} - 2 \right |$ - $\sqrt{5}$
<=> VT = $\sqrt{5}$ - 2 - $\sqrt{5}$
<=> VT = -2
<=> VT = VP (đpcm).

c) $(4 - \sqrt{7})^2$ = 23 - 8$\sqrt{7}$
Ta có VT = $(4 - \sqrt{7})^2$
<=> VT = $4^2$ - 2.4.$\sqrt{7}$ + $(\sqrt{7})^2$
<=> VT = 16 - 8.$\sqrt{7}$ + 7
<=> VT = 23 - 8.$\sqrt{7}$
<=> VT = VP (đpcm).

d) $\sqrt{23 + 8\sqrt{7}}$ - $\sqrt{7}$ = 4
Ta có VT = $\sqrt{23 + 8\sqrt{7}}$ - $\sqrt{7}$
<=> VT = $\sqrt{16 + 7 + 8\sqrt{7}}$ - $\sqrt{7}$
<=> VT = $\sqrt{4^2 + 2.4.\sqrt{7} + (\sqrt{7})^2}$ - $\sqrt{7}$
<=> VT  = $\sqrt{(4 + \sqrt{7})^2}$ - $\sqrt{7}$
<=> VT = $\left | 4 + \sqrt{7} \right |$ - $\sqrt{7}$
<=> VT = 4 + $\sqrt{7}$ - $\sqrt{7}$
<=> VT = 4
<=> VT = VP (đpcm).

Giải bài 16* trang 7 SBT toán 9 tập 1.

Biểu thức sau đây xác định với giá trị nào của x?

a) $\sqrt{(x - 1)(x - 3)}$            b) $\sqrt{x^2 - 4}$        c) $\sqrt{\frac{x - 2}{x + 3}}$            d) $\sqrt{\frac{2 + x}{5 - x}}$

Bài giải:
Trước khi giải bài này, ta lục lại một chút kiến thức liên quan mà cô giáo đã dạy. Hình như cô giáo có nhắc đi nhắc lại trong một bài học nào đó rằng:

Tích hai số a.b không âm khi và chỉ khi $\left[ \,\begin{matrix} \begin{cases} a \geq 0 \\ b \geq 0 \end{cases} \\  \begin{cases} a \leq 0 \\ b \leq 0 \end{cases} \end{matrix}\right.$

a) Biểu thức $\sqrt{(x - 1)(x - 3)}$ xác định khi (x - 1)(x - 3) $\geq$ 0
<=> $\left[ \,\begin{matrix} \begin{cases} x - 1 \geq 0 \\ x - 3 \geq 0 \end{cases} \\  \begin{cases} x - 1 \leq 0 \\ x - 3 \leq 0 \end{cases} \end{matrix}\right.$     <=> $\left[ \,\begin{matrix} \begin{cases} x \geq 1 \\ x \geq 3 \end{cases} \\  \begin{cases} x \leq 1 \\ x \leq 3 \end{cases} \end{matrix}\right.$     <=> $\left[ \,\begin{matrix} x \geq 3 \\ x \leq 1 \end{matrix}\right.$.
Vậy với x $\geq$ 3 hoặc x $\leq$ 1 thì biểu thức đã cho xác định.

b) $\sqrt{x^2 - 4}$
Ta có $\sqrt{x^2 - 4}$ = $\sqrt{(x - 2)(x + 2)}$
Biểu thức $\sqrt{x^2 - 4}$ xác định khi $\sqrt{(x - 2)(x + 2)}$ xác định.
Mà $\sqrt{(x - 2)(x + 2)}$ xác định khi (x - 2)(x + 2) $\geq$ 0
<=> $\left[ \,\begin{matrix} \begin{cases} x - 2 \geq 0 \\ x + 2 \geq 0 \end{cases} \\  \begin{cases} x - 2 \leq 0 \\ x + 2 \leq 0 \end{cases} \end{matrix}\right.$     <=> $\left[ \,\begin{matrix} \begin{cases} x \geq 2 \\ x \geq -2 \end{cases} \\  \begin{cases} x \leq 2 \\ x \leq -2 \end{cases} \end{matrix}\right.$     <=> $\left[ \,\begin{matrix} x \geq 2 \\ x \leq -2 \end{matrix}\right.$.
Vậy với x $\geq$ 2 hoặc x $\leq$ -2 thì biểu thức đã cho xác định.

c) $\sqrt{\frac{x - 2}{x + 3}}$
Biểu thức $\sqrt{\frac{x - 2}{x + 3}}$ xác định khi $\frac{x - 2}{x + 3}$ $\geq$ 0.
Xem nào, cô giáo cũng đã cung cấp một kiến thức bổ ích mà ta rất cần lúc này:

Thương $\frac{a}{b}$ không âm khi và chỉ khi: $\left[ \,\begin{matrix}\begin{cases} a \geq 0 \\ b > 0 \end{cases} \\  \begin{cases} a \leq 0 \\ b < 0 \end{cases} \end{matrix}\right.$

 Theo đó $\frac{x - 2}{x + 3}$ $\geq$ 0
<=> $\left[ \,\begin{matrix} \begin{cases} x - 2 \geq 0 \\ x + 3 > 0 \end{cases} \\  \begin{cases} x - 2 \leq 0 \\ x + 3 < 0 \end{cases} \end{matrix}\right.$     <=> $\left[ \,\begin{matrix} \begin{cases} x \geq 2 \\ x > -3 \end{cases} \\  \begin{cases} x \leq 2 \\ x < -3 \end{cases} \end{matrix}\right.$     <=> $\left[ \,\begin{matrix} x \geq 2 \\ x < -3 \end{matrix}\right.$.
Vậy với x $\geq$ 2 hoặc x < -3 thì biểu thức đã cho xác định.

d) $\sqrt{\frac{2 + x}{5 - x}}$

Tương tự biểu thức $\sqrt{\frac{2 + x}{5 - x}}$ xác định khi $\frac{2 + x}{5 - x}$ $\geq$ 0. Nghĩa là x phải thỏa mãn một trong hai trường hợp sau:

➤ $\begin{cases} 2 + x \geq 0  \\ 5 - x > 0 \end{cases}$   <=> $\begin{cases} x \geq -2  \\ x < 5 \end{cases}$ 

<=> -2 $\geq$ x < 5

➤ $\begin{cases} 2 + x \leq 0  \\ 5 - x < 0 \end{cases}$ <=> $\begin{cases} x \leq -2  \\ x > 5 \end{cases}$

Trường hợp này không có giá trị nào của x thỏa mãn. 

Vậy với -2 $\geq$ x < 5 thì biểu thức đã cho xác định.

Mỗi bài toán có nhiều cách giải, đừng quên chia sẻ cách giải hoặc ý kiến đóng góp của bạn ở khung nhận xét bên dưới. Xin cảm ơn!

CÙNG CHIA SẺ ĐỂ KIẾN THỨC ĐƯỢC LAN TỎA!

Be a Fan

Bài học liên quan.

• Giải SBT toán 9 hàm số bậc nhất.Nếu khi giải hết những bài tập SGK về hàm số bậc nhất mà ta vẫn còn băn khoăn, vẫn có đôi chỗ chưa
• Giải SBT một số hệ thứcvề cạnh và đường cao trong tam giác vuông P1.Các hệ thức lượng trong tam giác vuông mà cô giáo đã dạy ở tiết trước sẽ được áp dụng một cách triệ
• Giải SBT toán 9 đồ thị hàm số y = ax + b.Kỹ năng vẽ đồ thị hàm số sẽ được hoàn thiện khi hoàn thành những bài tập về đồ thị hàm số y = ax +
• Giải SBT liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây. Giải bài 30 trang 161 SBT toán 9 tập 1. Cho đường tròn tâm O bán kính 25cm. Hai dây AB, CD song s
• Giải SBT vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn. Giải bài 35 trang 162 SBT toán 9 tập 1. Trên mặt phẳng tọa độ cho điểm I có tọa độ (-3 ; 2). Nếu
• Giải SBT đường kính và dây của đường tròn. Giải bài 15 trang 158 SBT toán 9 tập 1. Cho tam giác ABC, các đường cao BH, CK. Chứng minh rằng: